Determine os pontos de máximos, mínimos e de sela da função dada.
f(x, y)=2-x^4+2 x^2-y^2

Passo 1

A função é f(x,y)=2 - x^4 + 2x^2 - y^2. Vamos achar os pontos críticos resolvendo as derivadas parciais e depois usar a matriz Hessiana para classificar cada ponto.

Passo 2

Para encontrar os pontos críticos calculamos as derivadas parciais:
partial fpartial x=-4x^3+4x=-4x(x^2-1)
partial fpartial y=-2y

Passo 3

Igualando as derivadas a zero obtemos o sistema:
-4x(x^2-1)=0,
-2y=0

Passo 4

Daí vêm as soluções x=0,,x=1,,x=-1 e y=0, ou seja, pontos críticos em (0,0), (1,0) e (-1,0).

Passo 5

Agora montamos a matriz Hessiana com as segundas derivadas:
partial^2 fpartial x^2=-12x^2+4, partial^2 fpartial xpartial y=0, partial^2 fpartial y^2=-2

Passo 6

H(x,y)=-12x^2+4 & 00 & -2

Passo 7

Para classificar cada ponto usamos o determinante D=det H= (-12x^2+4)(-2)=24x^2-8 e o sinal de fxx:

Passo 8

No ponto (0,0): D=24cdot0-8=-8<0, portanto ponto de sela.

Passo 9

Nos pontos (1,0) e (-1,0): D=24cdot1-8=16>0 e fxx=-12cdot1+4=-8<0, logo máximos locais.

Resposta

Máximos locais em (1,0) e (-1,0); ponto de sela em (0,0); não há mínimos locais.

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