Determine a derivada direcional no ponto dado na direção do vetor v.
f(s, t)=s raizt, P(2,4), v=2 i-j

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(s,t)=s\sqrt{t} no ponto P(2,4) na direção do vetor vec v=2,vec i-vec j. O conteúdo principal é derivada direcional, e para isso vamos precisar do gradiente de f e do vetor unitário na direção de vec v.

Passo 2

Para obter o gradiente nabla f, calculamos as derivadas parciais:
partial fpartial s=raizt,
partial fpartial t=scdot12raizt=s2raizt
O gradiente é nabla f=(raizt,,s/(2raizt)).

Passo 3

Agora avaliamos o gradiente no ponto P(2,4). Como raiz4=2, temos
partial fpartial s(2,4)=2,
partial fpartial t(2,4)=22cdot2=12
Logo, nabla f(2,4)=(2,,tfrac12).

Passo 4

Precisamos do vetor unitário vec u na direção de vec v=(2,-1). Primeiro calculamos o módulo:
|vec v|=raiz2^2+(-1)^2=raiz5
Então
vec u=1raiz5(2,-1)=l(tfrac2raiz5,-tfrac1raiz5r)

Passo 5

A derivada direcional é o produto escalar entre nabla f(2,4) e vec u:
Dvec uf=nabla f(2,4)cdotvec u =2cdot2raiz5+12cdotl(-1raiz5r)
=4-tfrac12raiz5=tfrac8-12raiz5=72raiz5
Podemos racionalizar o denominador se quisermos.

Passo 6

Resposta

tfrac7raiz510

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