Determine as direções em que a função f(x, y) = raiz(R), tem derivada direcional no ponto P0 = (1, 2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir em quais direções a função , dada por , tem derivada direcional no ponto . Isso tá relacionado ao estudo de derivadas direcionais na matéria de Cálculo Diferencial. Vamos precisar saber como calcular derivadas direcionais e entender quando elas existem.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é uma derivada direcional. Basicamente, ela mede a taxa de variação da função em uma direção específica a partir de um ponto dado. Para calcular a derivada direcional de no ponto na direção do vetor , usamos a fórmula:
Aqui, é o gradiente de no ponto , e representa o produto escalar.

Passo 3

Então, vamos calcular o gradiente . O gradiente é formado pelas derivadas parciais de em relação a e . Ou seja:
Sabemos que . Para ser mais específico, vamos supor que , que é comum nessa notação. Assim:

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
Portanto, o gradiente fica:

Passo 5

Vamos avaliar o gradiente no ponto :

Passo 6

Agora, a derivada direcional na direção de um vetor é:
Para que a derivada direcional exista, o vetor precisa ser um vetor unitário, ou seja, .

Passo 7

Então, a derivada direcional existe em todas as direções que são vetores unitários. Isso significa que, para qualquer direção que a gente escolher, desde que o vetor direcional seja unitário, a derivada direcional de em existe.

Resposta

A função tem derivada direcional no ponto em todas as direções definidas por vetores unitários. Ou seja, para qualquer vetor com , existe a derivada direcional .

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