Determine as direções em que a função
, tem derivada direcional no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir em quais direções a função
, dada por
, tem derivada direcional no ponto
. Isso tá relacionado ao estudo de derivadas direcionais na matéria de Cálculo Diferencial. Vamos precisar saber como calcular derivadas direcionais e entender quando elas existem.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é uma derivada direcional. Basicamente, ela mede a taxa de variação da função
em uma direção específica a partir de um ponto dado. Para calcular a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
, usamos a fórmula:
Aqui,
é o gradiente de
no ponto
, e
representa o produto escalar.
Passo 3
Então, vamos calcular o gradiente
. O gradiente é formado pelas derivadas parciais de
em relação a
e
. Ou seja:
Sabemos que
. Para ser mais específico, vamos supor que
, que é comum nessa notação. Assim:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
Portanto, o gradiente fica:
Passo 5
Vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Passo 6
Agora, a derivada direcional na direção de um vetor
é:
Para que a derivada direcional exista, o vetor
precisa ser um vetor unitário, ou seja,
.
Passo 7
Então, a derivada direcional existe em todas as direções
que são vetores unitários. Isso significa que, para qualquer direção que a gente escolher, desde que o vetor direcional seja unitário, a derivada direcional de
em
existe.
Resposta
A função
tem derivada direcional no ponto
em todas as direções definidas por vetores unitários. Ou seja, para qualquer vetor
com
, existe a derivada direcional
.