Verifique que a função dada é diferenciável. Justifique. f(x, y) = e^(x - y^2).

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. Temos a função e queremos verificar se ela é diferenciável. Isso está dentro do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente sobre diferenciabilidade de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a e e verificar se elas são contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . A derivada parcial em relação a significa que vamos derivar a função considerando como uma constante.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Aqui, derivamos a função considerando como uma constante.

Passo 4

Agora que temos as derivadas parciais, precisamos verificar se elas são contínuas. Funções exponenciais e polinomiais (como ) são contínuas em todo o seu domínio. Como o produto de funções contínuas também é contínuo, tanto quanto são contínuas em todo o plano .

Passo 5

Segundo o teorema da diferenciabilidade, se as derivadas parciais de uma função existem e são contínuas em um ponto, então a função é diferenciável nesse ponto. Como mostramos que as derivadas parciais de são contínuas em todo lugar, concluímos que é diferenciável em todo o seu domínio.

Resposta

A função é diferenciável em todo o seu domínio.

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