Verifique que a função dada é diferenciável. Justifique.
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. Temos a função
e queremos verificar se ela é diferenciável. Isso está dentro do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente sobre diferenciabilidade de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a
e
e verificar se elas são contínuas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. A derivada parcial em relação a
significa que vamos derivar a função considerando
como uma constante.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Aqui, derivamos a função considerando
como uma constante.
Passo 4
Agora que temos as derivadas parciais, precisamos verificar se elas são contínuas. Funções exponenciais e polinomiais (como
) são contínuas em todo o seu domínio. Como o produto de funções contínuas também é contínuo, tanto
quanto
são contínuas em todo o plano
.
Passo 5
Segundo o teorema da diferenciabilidade, se as derivadas parciais de uma função existem e são contínuas em um ponto, então a função é diferenciável nesse ponto. Como mostramos que as derivadas parciais de
são contínuas em todo lugar, concluímos que
é diferenciável em todo o seu domínio.
Resposta
A função
é diferenciável em todo o seu domínio.