Calcule as integrais em coordenadas cilíndricas nos exercícios 1-6.
integral0^2 pi integral0^1 integralr^1 / raiz2-r^2 3 d z r d r d theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla em coordenadas cilíndricas. O enunciado nos dá os limites de integração para , e , e queremos calcular . Para isso, vamos usar o conhecimento sobre integrais em coordenadas cilíndricas, que são úteis para calcular volumes e integrais sobre regiões com simetria circular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a ordem das integrações. Estamos integrando em de até , depois em de 0 a 1, e finalmente em de 0 a . A função a ser integrada é 3, e temos o fator extra por causa da coordenada cilíndrica.

Passo 3

Vamos começar pela integração em integralr^1 / raiz2 - r^2 3 , dz = 3 ( 1raiz2 - r^2 - r ) . A integral de 3 em relação a de até é:

Passo 4

Agora, substituímos essa expressão na integral dupla sobre integral0^2 pi integral0^1 3 ( 1raiz2 - r^2 - r ) r , dr , dtheta e 3 integral0^2 pi integral0^1 ( rraiz2 - r^2 - r^2 ) , dr , dtheta :
Distribuindo o :

Passo 5

Vamos separar a integral em duas partes:
3 integral0^2 pi [ integral0^1 rraiz2 - r^2 , dr - integral0^1 r^2 , dr ] dtheta
Vamos resolver cada integral em separadamente.

Passo 6

Primeira integral: -12 integral2^1 1raizu , du = 12 integral1^2 u^-1/2 , du = 12 [ 2 u^1/2 ]1^2 = [ u^1/2 ]1^2 = raiz2 - 1
Fazemos a substituição , então , ou seja, .
A integral fica:

Passo 7

Segunda integral:

Passo 8

Substituindo de volta nas integrais:
3 integral0^2 pi ( raiz2 - 1 - 13 ) dtheta = 3 integral0^2 pi ( raiz2 - 43 ) dtheta

Passo 9

Como a expressão dentro da integral não depende de 3 ( raiz2 - 43 ) integral0^2 pi dtheta = 3 ( raiz2 - 43 ) cdot 2pi = 6pi ( raiz2 - 43 ) , podemos simplificar:

Resposta

A integral vale .

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