Calcule as integrais em coordenadas cilíndricas nos exercícios 1-6.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla em coordenadas cilíndricas. O enunciado nos dá os limites de integração para
,
e
, e queremos calcular
. Para isso, vamos usar o conhecimento sobre integrais em coordenadas cilíndricas, que são úteis para calcular volumes e integrais sobre regiões com simetria circular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a ordem das integrações. Estamos integrando em
de
até
, depois em
de 0 a 1, e finalmente em
de 0 a
. A função a ser integrada é 3, e temos o fator extra
por causa da coordenada cilíndrica.
Passo 3
Vamos começar pela integração em
. A integral de 3 em relação a
de
até
é:
Passo 4
Agora, substituímos essa expressão na integral dupla sobre
e
:
Distribuindo o
:
Passo 5
Vamos separar a integral em duas partes:
Vamos resolver cada integral em
separadamente.
Passo 6
Primeira integral:
Fazemos a substituição
, então
, ou seja,
.
A integral fica:
Passo 7
Segunda integral:
Passo 8
Substituindo de volta nas integrais:
Passo 9
Como a expressão dentro da integral não depende de
, podemos simplificar:
Resposta
A integral vale
.