1. (a) Mostre que os planos x+y-z=1 \mathrm{e} 2 x-3 y+4 z=5 não são nem paralelos nem perpendiculares.
    (b) Determine, com precisão de um grau, o ângulo entre os planos.

Passo 1

O enunciado dá dois planos no espaço e pede duas coisas:
  • (a) Mostrar que os planos x+y-z=1 e 2x-3y+4z=5 não são nem paralelos nem perpendiculares.
  • (b) Determinar, com precisão de um grau, o ângulo entre os planos.
Informações relevantes fornecidas:
  • Equação do primeiro plano: x+y-z=1.
  • Equação do segundo plano: 2x-3y+4z=5.

Passo 2

Regra útil (mini-aula): a forma geral de um plano em \mathbb{R}^3 é ax+by+cz=d. O vetor normal ao plano é \,(a,b,c), porque esse vetor é perpendicular a todo vetor tangente ao plano. Aqui, extraímos os vetores normais dos dois planos:
  • Do plano x+y-z=1 obtemos n_1=(1,1,-1).
  • Do plano 2x-3y+4z=5 obtemos n_2=(2,-3,4).
Ter os vetores normais é a chave: relações entre planos (paralelismo, perpendicularidade e ângulo) reduzem a relações entre n_1 e n_2.

Passo 3

Mostrar que não são paralelos (mini-aula): dois planos são paralelos se e somente se seus vetores normais são múltiplos escalares um do outro, isto é, existe k tal que n_1 = k n_2.
Teste de paralelismo: suponha que exista k com
(1,1,-1)=k(2,-3,4).
Isto dá três equações:
1=2k,\qquad 1=-3k,\qquad -1=4k.
Da primeira equação k=\dfrac{1}{2}. Da segunda k=-\dfrac{1}{3}. Essas duas são incompatíveis ( \dfrac{1}{2}\neq -\dfrac{1}{3}). Portanto não existe k que satisfaça todas as três equações, logo n_1 não é múltiplo escalar de n_2. Conclusão: os planos NÃO são paralelos.

Passo 4

Mostrar que não são perpendiculares (mini-aula): dois planos são perpendiculares se e somente se seus vetores normais são perpendiculares; vetores são perpendiculares quando o produto escalar é zero.
Calcule o produto escalar
n_1\cdot n_2=(1,1,-1)\cdot(2,-3,4)=1\cdot2+1\cdot(-3)+(-1)\cdot4=2-3-4=-5.
Como n_1\cdot n_2=-5\neq 0, os vetores normais não são perpendiculares. Conclusão: os planos NÃO são perpendiculares.

Passo 5

Definir o ângulo entre planos (mini-aula): o ângulo \theta entre dois planos pode ser tomado como o ângulo entre seus vetores normais. Para obter o ângulo agudo entre os planos usa-se a fórmula
\cos\theta=\frac{|n_1\cdot n_2|}{\|n_1\|\,\|n_2\|},
onde \|v\| é a norma euclidiana do vetor v. O valor absoluto garante que se obtém o ângulo agudo (entre 0^\circ e 90^\circ).

Passo 6

Calcular norma dos vetores normais e aplicar a fórmula:
Primeiro as normas:
\|n_1\|=\sqrt{1^2+1^2+(-1)^2}=\sqrt{3}, \qquad \|n_2\|=\sqrt{2^2+(-3)^2+4^2}=\sqrt{4+9+16}=\sqrt{29}.
Já calculamos n_1\cdot n_2=-5. Portanto
\cos\theta=\frac{|{-5}|}{\sqrt{3}\,\sqrt{29}}=\frac{5}{\sqrt{87}}.

Passo 7

Converter para graus (mini-aula e cálculo numérico): o ângulo é
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{5}{\sqrt{87}}\right).
Para avaliar numericamente, calcula-se \dfrac{5}{\sqrt{87}} e então aplica-se a função \operatorname{arccos} e converte-se para graus por \theta_{\text{graus}}=\dfrac{180}{\pi}\theta_{\text{radianos}}. Numericamente,
\frac{5}{\sqrt{87}}\approx 0,537,
logo
\theta\approx \operatorname{arccos}(0,537)\approx 57{,}5^\circ.
Como o enunciado pede precisão de um grau, arredondando ao grau mais próximo:
\theta\approx 58^\circ.

Resposta

(a) Não são nem paralelos nem perpendiculares.
(b) \theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{5}{\sqrt{87}}\right)\approx 58^\circ

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