- (a) Mostre que os planos
não são nem paralelos nem perpendiculares.
(b) Determine, com precisão de um grau, o ângulo entre os planos.
(b) Determine, com precisão de um grau, o ângulo entre os planos.
Passo 1
O enunciado dá dois planos no espaço e pede duas coisas:
- (a) Mostrar que os planos
e não são nem paralelos nem perpendiculares. - (b) Determinar, com precisão de um grau, o ângulo entre os planos.
Informações relevantes fornecidas:
- Equação do primeiro plano:
. - Equação do segundo plano:
.
Passo 2
Regra útil (mini-aula): a forma geral de um plano em
é
. O vetor normal ao plano é
, porque esse vetor é perpendicular a todo vetor tangente ao plano. Aqui, extraímos os vetores normais dos dois planos:
- Do plano
obtemos . - Do plano
obtemos .
Ter os vetores normais é a chave: relações entre planos (paralelismo, perpendicularidade e ângulo) reduzem a relações entre
e
.
Passo 3
Mostrar que não são paralelos (mini-aula): dois planos são paralelos se e somente se seus vetores normais são múltiplos escalares um do outro, isto é, existe
tal que
.
Teste de paralelismo: suponha que exista
com
Isto dá três equações:
Da primeira equação
. Da segunda
. Essas duas são incompatíveis (
). Portanto não existe
que satisfaça todas as três equações, logo
não é múltiplo escalar de
. Conclusão: os planos NÃO são paralelos.
Passo 4
Mostrar que não são perpendiculares (mini-aula): dois planos são perpendiculares se e somente se seus vetores normais são perpendiculares; vetores são perpendiculares quando o produto escalar é zero.
Calcule o produto escalar
Como
, os vetores normais não são perpendiculares. Conclusão: os planos NÃO são perpendiculares.
Passo 5
Definir o ângulo entre planos (mini-aula): o ângulo
entre dois planos pode ser tomado como o ângulo entre seus vetores normais. Para obter o ângulo agudo entre os planos usa-se a fórmula
onde
é a norma euclidiana do vetor
. O valor absoluto garante que se obtém o ângulo agudo (entre
e
).
Passo 6
Calcular norma dos vetores normais e aplicar a fórmula:
Primeiro as normas:
Primeiro as normas:
Já calculamos
. Portanto
Passo 7
Converter para graus (mini-aula e cálculo numérico): o ângulo é
Para avaliar numericamente, calcula-se
e então aplica-se a função
e converte-se para graus por
. Numericamente,
logo
Como o enunciado pede precisão de um grau, arredondando ao grau mais próximo:
Resposta
(a) Não são nem paralelos nem perpendiculares.
(b)
(b)