Calcule o comprimento de arco da curva dada na forma paramétrica.
Passo 1
O enunciado dá a curva no formato paramétrico
no intervalo de parâmetro
.
A pergunta é: calcular o comprimento de arco dessa curva para entre
e
.
A pergunta é: calcular o comprimento de arco dessa curva para
Informações relevantes listadas:
- As funções paramétricas são
e . - O intervalo do parâmetro é
. - Precisamos aplicar a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas.]
Passo 2
Fórmula do comprimento de arco (aulas rápidas): se uma curva é dada por
e
para
em
, o comprimento de arco
é
Aqui
e
são as derivadas das coordenadas em relação ao parâmetro
. Intuitivamente,
é a velocidade escalar (comprimento do vetor velocidade) da partícula que percorre a curva parametrizada por
.
Passo 3
Calculemos as derivadas das coordenadas (mostrando tudo passo a passo para a prova):
Expliquei: ao derivar
obtém-se
; constantes desaparecem.
Passo 4
Substituímos na fórmula do comprimento de arco:
Portanto o integrando é
Observação importante para a prova: a raiz de
é
. Como o intervalo dado é
, temos
, então
. Isso simplifica bastante o cálculo.
Passo 5
Com essa simplificação, o integrando fica
. Podemos escrever
. Assim o comprimento de arco é
Dica para a prova: antes de integrar, sempre simplifique constantes e trate o valor absoluto do parâmetro conforme o intervalo.
Passo 6
Calcule a integral passo a passo:
Agora avaliamos de
a
:
Passo 7
Concluímos que o comprimento de arco da curva no intervalo dado é