Calcule o comprimento de arco da curva dada na forma paramétrica.
\left\{\begin{array}{l}x=3+t^{2} \\\ y=6+t^{2}\end{array}, 1 \leq t \leq 5\right.

Passo 1

O enunciado dá a curva no formato paramétrico
\begin{cases} x=3+t^{2}\\[4pt] y=6+t^{2} \end{cases}
no intervalo de parâmetro 1\le t\le 5.
A pergunta é: calcular o comprimento de arco dessa curva para t entre 1 e 5.
Informações relevantes listadas:
  • As funções paramétricas são x(t)=3+t^{2} e y(t)=6+t^{2}.
  • O intervalo do parâmetro é t\in[1,5].
  • Precisamos aplicar a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas.]

Passo 2

Fórmula do comprimento de arco (aulas rápidas): se uma curva é dada por x=x(t) e y=y(t) para t em [a,b], o comprimento de arco L é
L=\int_{a}^{b}\sqrt{\bigl(\tfrac{dx}{dt}\bigr)^{2}+\bigl(\tfrac{dy}{dt}\bigr)^{2}}\;dt.
Aqui \tfrac{dx}{dt} e \tfrac{dy}{dt} são as derivadas das coordenadas em relação ao parâmetro t. Intuitivamente, \sqrt{(\dot x)^2+(\dot y)^2} é a velocidade escalar (comprimento do vetor velocidade) da partícula que percorre a curva parametrizada por t.

Passo 3

Calculemos as derivadas das coordenadas (mostrando tudo passo a passo para a prova):
\tfrac{dx}{dt}=\tfrac{d}{dt}(3+t^{2})=2t,
\tfrac{dy}{dt}=\tfrac{d}{dt}(6+t^{2})=2t.
Expliquei: ao derivar t^{2} obtém-se 2t; constantes desaparecem.

Passo 4

Substituímos na fórmula do comprimento de arco:
\bigl(\tfrac{dx}{dt}\bigr)^{2}+( \tfrac{dy}{dt}\bigr)^{2}=(2t)^{2}+(2t)^{2}=4t^{2}+4t^{2}=8t^{2}.
Portanto o integrando é
\sqrt{8t^{2}}=\sqrt{8}\,\sqrt{t^{2}}=\sqrt{8}\,|t|.
Observação importante para a prova: a raiz de t^{2} é |t|. Como o intervalo dado é t\in[1,5], temos t\ge 1>0, então |t|=t. Isso simplifica bastante o cálculo.

Passo 5

Com essa simplificação, o integrando fica \sqrt{8}\,t. Podemos escrever \sqrt{8}=2\sqrt{2}. Assim o comprimento de arco é
L=\int_{1}^{5}2\sqrt{2}\,t\;dt.
Dica para a prova: antes de integrar, sempre simplifique constantes e trate o valor absoluto do parâmetro conforme o intervalo.

Passo 6

Calcule a integral passo a passo:
\int 2\sqrt{2}\,t\;dt = 2\sqrt{2}\cdot\frac{t^{2}}{2}=\sqrt{2}\,t^{2}.
Agora avaliamos de 1 a 5:
L=\bigl[\sqrt{2}\,t^{2}\bigr]_{1}^{5}=\sqrt{2}\,(5^{2}-1^{2})=\sqrt{2}\,(25-1)=\sqrt{2}\cdot 24.

Passo 7

Concluímos que o comprimento de arco da curva no intervalo dado é
L=24\sqrt{2}.

Resposta

24\sqrt{2}

Exercícios relacionados