Determine a distância entre os planos alpha: 2 x-2 y+z+5=0 e beta: 4 x-4 y+2 z+14=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a distância entre dois planos no espaço, que são dados pelas equações:
alpha: 2x - 2y + z + 5 = 0
beta: 4x - 4y + 2z + 14 = 0
Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula para calcular a distância entre planos paralelos.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se os planos e são paralelos. Dois planos são paralelos se seus vetores normais são múltiplos um do outro. O vetor normal de um plano é formado pelos coeficientes de , e na equação do plano.
Para o plano , o vetor normal é .
Para o plano , o vetor normal é .
Observando os vetores, percebemos que , ou seja, tem um vetor normal que é o dobro de . Isso confirma que os planos são paralelos.

Passo 3

Com os planos sendo paralelos, podemos usar a fórmula da distância entre planos paralelos. A fórmula geral para a distância d = |D2 - D1|raizA^2 + B^2 + C^2 entre dois planos 4x - 4y + 2z + 14 = 0 Rightarrow 2x - 2y + z + 7 = 0 e beta: 2x - 2y + z + 7 = 0 é:
Mas, antes de aplicar a fórmula, precisamos que os vetores normais dos dois planos sejam exatamente iguais. Atualmente, o vetor normal de é o dobro do de . Para simplificar, vamos dividir toda a equação de por 2:
Agora, a equação de fica:
Agora, os vetores normais são iguais: .

Passo 4

Identificando os valores de alpha: 2x - 2y + z + 5 = 0 Rightarrow D1 = 5 e beta: 2x - 2y + z + 7 = 0 Rightarrow D2 = 7 nas equações dos planos:
d = |7 - 5|raiz2^2 + (-2)^2 + 1^2 = 2raiz4 + 4 + 1 = 2raiz9 = 23
Agora, substituímos esses valores na fórmula da distância:

Resposta

A distância entre os planos e é unidades.

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