Determine a distância entre os planos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a distância entre dois planos no espaço, que são dados pelas equações:
Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula para calcular a distância entre planos paralelos.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se os planos
e
são paralelos. Dois planos são paralelos se seus vetores normais são múltiplos um do outro. O vetor normal de um plano é formado pelos coeficientes de
,
e
na equação do plano.
Para o plano
, o vetor normal é
.
Para o plano
, o vetor normal é
.
Observando os vetores, percebemos que
, ou seja,
tem um vetor normal que é o dobro de
. Isso confirma que os planos são paralelos.
Passo 3
Com os planos sendo paralelos, podemos usar a fórmula da distância entre planos paralelos. A fórmula geral para a distância
entre dois planos
e
é:
Mas, antes de aplicar a fórmula, precisamos que os vetores normais dos dois planos sejam exatamente iguais. Atualmente, o vetor normal de
é o dobro do de
. Para simplificar, vamos dividir toda a equação de
por 2:
Agora, a equação de
fica:
Agora, os vetores normais são iguais:
.
Passo 4
Identificando os valores de
e
nas equações dos planos:
Agora, substituímos esses valores na fórmula da distância:
Resposta
A distância entre os planos
e
é
unidades.