Determine a posição relativa e a intersecção entre os planos
alpha: x-2 y-z=0 e beta: 2 x-y+z-6=0

Passo 1

Primeiramente, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois planos no espaço, definidos pelas equações:
alpha: x - 2y - z = 0
beta: 2x - y + z - 6 = 0
O objetivo é determinar a posição relativa desses planos e encontrar a intersecção entre eles, se houver. Para isso, vamos utilizar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos no espaço tridimensional.

Passo 2

Para descobrir a posição relativa dos planos, precisamos comparar seus vetores normais. O vetor normal de um plano é dado pelos coeficientes das variáveis na equação do plano. Assim:
Para o plano nalpha = (1, -2, -1) :
nbeta = (2, -1, 1)
Para o plano :

Passo 3

Agora, vamos verificar se os vetores normais são múltiplos um do outro. Se forem, os planos são paralelos ou coincidentes. Caso contrário, eles se intersectam.
Vamos ver se existe um escalar nbeta = lambda nalpha tal que:
2 = lambda times 1 Rightarrow lambda = 2
Comparando os componentes:
-1 = lambda times (-2) Rightarrow -1 = -2lambda Rightarrow lambda = 12
Já que não é o mesmo para todas as componentes, os vetores normais não são múltiplos. Portanto, os planos não são paralelos e se intersectam.

Passo 4

Para encontrar a intersecção dos planos, precisamos resolver o sistema de equações formado por x - 2y - z = 0 2x - y + z - 6 = 0 e :
Podemos resolver esse sistema por substituição ou por método de combinação linear. Vamos usar a combinação linear.

Passo 5

Somando as duas equações para eliminar (x - 2y - z) + (2x - y + z - 6) = 0 + 0 :
3x - 3y - 6 = 0
x - y - 2 = 0 Rightarrow x = y + 2
Simplificando:

Passo 6

Agora, substituímos (y + 2) - 2y - z = 0 na primeira equação -y + 2 - z = 0 Rightarrow z = -y + 2 :

Passo 7

Agora, temos todas as variáveis em termos de x = t + 2 . Podemos expressar a interseção como uma linha paramétrica. Vamos chamar y = t , onde z = -t + 2 é um parâmetro real.
Então:

Passo 8

Portanto, a interseção dos planos é a reta definida por:
r(t) = (2, 0, 2) + t(1, 1, -1), t in R

Resposta

Os planos r(t) = (2,, 0,, 2) + t, (1,, 1,, -1) com t in R e se interceptam ao longo da reta dada por:

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