Mostre que dois vetores u e v são paralelos se, e somente se, u times v=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que dois vetores u e v são paralelos se, e somente se, o produto vetorial deles u times v é igual ao vetor zero 0.
Estamos trabalhando com Vetores e Produtos Vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem paralelos e o que acontece quando calculamos o produto vetorial de dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que dois vetores são paralelos. Dois vetores são paralelos se eles têm a mesma direção ou direções opostas. Em termos matemáticos, isso significa que um vetor pode ser obtido pelo outro multiplicado por um escalar (número real). Ou seja, u = kv, onde k é um número real.

Passo 3

Agora, vamos pensar no produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores u e v, escrito como u times v, resulta em um vetor que é perpendicular a ambos os vetores originais. A magnitude desse vetor é dada por |u times v| = |u||v|sintheta, onde theta é o ângulo entre u e v.

Passo 4

Se u e v são paralelos, o ângulo theta entre eles é 0 ou 180 graus. Sabemos que sin(0) = 0 e sin(180^circ) = 0, então a magnitude do produto vetorial u times v será zero. Isso significa que u times v = 0.

Passo 5

Agora, vamos pensar no contrário. Se u times v = 0, isso implica que a magnitude desse produto vetorial é zero. Ou seja, |u||v|sintheta = 0. Como os vetores u e v não são vetores nulos, os únicos casos em que isso ocorre é quando sintheta = 0. Isso acontece quando theta é 0 ou 180 graus, o que significa que os vetores são paralelos.

Resposta

Portanto, dois vetores u e v são paralelos se, e somente se, o produto vetorial u times v é igual ao vetor zero 0.

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