Mostre que dois vetores
são paralelos se, e somente se,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que dois vetores
e
são paralelos se, e somente se, o produto vetorial deles
é igual ao vetor zero
.
Estamos trabalhando com Vetores e Produtos Vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem paralelos e o que acontece quando calculamos o produto vetorial de dois vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que dois vetores são paralelos. Dois vetores são paralelos se eles têm a mesma direção ou direções opostas. Em termos matemáticos, isso significa que um vetor pode ser obtido pelo outro multiplicado por um escalar (número real). Ou seja,
, onde
é um número real.
Passo 3
Agora, vamos pensar no produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores
e
, escrito como
, resulta em um vetor que é perpendicular a ambos os vetores originais. A magnitude desse vetor é dada por
, onde
é o ângulo entre
e
.
Passo 4
Se
e
são paralelos, o ângulo
entre eles é 0 ou 180 graus. Sabemos que
e
, então a magnitude do produto vetorial
será zero. Isso significa que
.
Passo 5
Agora, vamos pensar no contrário. Se
, isso implica que a magnitude desse produto vetorial é zero. Ou seja,
. Como os vetores
e
não são vetores nulos, os únicos casos em que isso ocorre é quando
. Isso acontece quando
é 0 ou 180 graus, o que significa que os vetores são paralelos.
Resposta
Portanto, dois vetores
e
são paralelos se, e somente se, o produto vetorial
é igual ao vetor zero
.