Determine o valor de m se a norma do vetor v=(2 m+2, m-1,2 m-7) é |v|=13.

Passo 1

A gente precisa encontrar o valor de que torna a norma do vetor igual a 13. Vamos usar o conceito de norma de um vetor, que mede o “tamanho” desse vetor no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a norma de um vetor no espaço tridimensional. A fórmula é:
|v| = raiz(x)^2 + (y)^2 + (z)^2
Onde , e são as componentes do vetor.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso vetor |v| = raiz(2m + 2)^2 + (m - 1)^2 + (2m - 7)^2 :
raiz(2m + 2)^2 + (m - 1)^2 + (2m - 7)^2 = 13
Sabemos que a norma deve ser igual a 13, então:

Passo 4

Vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
(2m + 2)^2 + (m - 1)^2 + (2m - 7)^2 = 13^2
(2m + 2)^2 + (m - 1)^2 + (2m - 7)^2 = 169

Passo 5

Agora, vamos expandir cada termo:
(2m + 2)^2 = 4m^2 + 8m + 4
(m - 1)^2 = m^2 - 2m + 1
(2m - 7)^2 = 4m^2 - 28m + 49

Passo 6

Somando tudo:
4m^2 + 8m + 4 + m^2 - 2m + 1 + 4m^2 - 28m + 49 = 169
(4m^2 + m^2 + 4m^2) + (8m - 2m - 28m) + (4 + 1 + 49) = 169
9m^2 - 22m + 54 = 169

Passo 7

Subtraindo 169 de ambos os lados para igualar a equação a zero:
9m^2 - 22m + 54 - 169 = 0
9m^2 - 22m - 115 = 0

Passo 8

Agora, vamos resolver a equação quadrática m = -b pm raizb^2 - 4ac2a usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e .

Passo 9

Calculando o discriminante ( De):
De
De

Passo 10

Agora, substituindo na fórmula:
m = -(-22) pm raiz46242 times 9
m = 22 pm 6818

Passo 11

Calculando as duas possibilidades:

Resposta

Os valores de que satisfazem a condição são e .

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