Determine o valor de
se a norma do vetor
é
.
Passo 1
A gente precisa encontrar o valor de
que torna a norma do vetor
igual a 13. Vamos usar o conceito de norma de um vetor, que mede o “tamanho” desse vetor no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a norma de um vetor no espaço tridimensional. A fórmula é:
Onde
,
e
são as componentes do vetor.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso vetor
:
Sabemos que a norma deve ser igual a 13, então:
Passo 4
Vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
Passo 5
Agora, vamos expandir cada termo:
Passo 6
Somando tudo:
Passo 7
Subtraindo 169 de ambos os lados para igualar a equação a zero:
Passo 8
Agora, vamos resolver a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
.
Passo 9
Calculando o discriminante (
):
Passo 10
Agora, substituindo na fórmula:
Passo 11
Calculando as duas possibilidades:
Resposta
Os valores de
que satisfazem a condição são
e
.