Determine a distância do ponto ao plano dado.
(-2,2,1), 3 x-5 y+z=5

Passo 1

O enunciado nos dá um ponto P=(x0,y0,z0)=(-2,2,1) e um plano 3x - 5y + z = 5. O conteúdo é a distância de um ponto a um plano em R^3, e vamos usar a fórmula específica para isso.

Passo 2

Escrevemos o plano na forma Ax+By+Cz+D=0. Subtraindo 5 de ambos os lados, obtemos
3x - 5y + z - 5 = 0,
portanto A=3, B=-5, C=1 e D=-5.

Passo 3

A fórmula da distância de P ao plano é
d = l|A x0 + B y0 + C z0 + Dr|raizA^2 + B^2 + C^2
Substituindo x0=-2, y0=2, z0=1 e os coeficientes, calculamos o numerador e o denominador:
|3cdot(-2) + (-5)cdot2 + 1cdot1 + (-5)| = |-6 -10 +1 -5| = |-20| = 20,
raiz3^2 + (-5)^2 + 1^2 = raiz9 + 25 + 1 = raiz35

Passo 4

Portanto,
d = 20raiz35
Racionalizando o denominador, obtém-se
d = 20raiz3535 = 4raiz357

Resposta

4raiz357

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