(a) Determine o ponto dado pela intersecção das retas:
& r=lang<= 1,1,0rang<=+tlang<= 1,-1,2rang<= & r=lang<= 2,0,2rang<=+slang<=-1,1,0rang<=
(b) Determine a equação do plano que contém essas retas.

Passo 1

O enunciado dá duas retas no espaço
r1 = (1,1,0) + t,(1,-1,2),
r2 = (2,0,2) + s,(-1,1,0),
e pede (a) o ponto de intersecção e (b) a equação do plano que as contém. Para isso vamos igualar coordenadas para achar o ponto e usar o produto vetorial dos vetores diretores para obter o vetor normal do plano.

Passo 2

Igualando as coordenadas parametricamente, da componente z vem
2t = 2 implies t = 1
Com t=1, a componente y
1 - t = 0 implies s = 0,
e em x conferimos
1 + t = 2 = 2 - s
Logo o ponto de interseção é
(1+1,;1-1,;2cdot1) = (2,0,2)

Passo 3

Os vetores diretores são
v1 = (1,-1,2) e v2 = (-1,1,0).
O vetor normal ao plano é
n = v1 times v2 = ( -2,,-2,,0 ),
que podemos simplificar para
n = (1,1,0).

Passo 4

Usando o ponto (2,0,2) e o normal (1,1,0), a equação do plano é
1(x - 2) + 1(y - 0) + 0(z - 2) = 0
ou seja
x + y = 2

Resposta

(a) (2,0,2).
(b) x + y = 2.

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