Encontre equaçōes simétricas para a reta de intersecção dos planos.
z=3 x+2 y+1, z=4 x+y+3

Passo 1

O enunciado pede as equações simétricas da reta de intersecção dos planos
z = 3x + 2y + 1
e
z = 4x + y + 3
O conteúdo é Geometria Analítica: interseção de dois planos em R^3. Vamos igualar as duas expressões de z para obter uma relação entre x e y, depois parametrizar e, por fim, escrever a forma simétrica.

Passo 2

Igualando as duas fórmulas de z:
3x + 2y + 1 = 4x + y + 3
Subtraindo 4x + y + 3 de ambos os lados, obtemos
-,x + y - 2 = 0 Longrightarrow y = x + 2
Substituindo em z = 3x + 2y + 1:
z = 3x + 2(x + 2) + 1 = 3x + 2x + 4 + 1 = 5x + 5

Passo 3

Definimos o parâmetro t = x. Assim
x = t, y = t + 2, z = 5t + 5
Em forma vetorial, a reta fica
l(x,y,zr) = (0,2,5) + t,(1,1,5)

Passo 4

Para a forma simétrica, escrevemos cada coordenada subtraindo o ponto base e dividindo pela direção:
x - 01 ;=;y - 21;=;z - 55

Resposta

x1 ;=;y - 21;=;z - 55

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