Determine a distância da reta r:\left\{\begin{array}{l}x=3 \\\ y=4 \\\ z=t\end{array}, t \in \mathbb{R}\right. :
ao plano \pi_{x z}.

Passo 1

O enunciado dá a reta r e pede a distância dessa reta ao plano \pi_{xz}.
Dados fornecidos:
  • A reta r é dada por
x=3,\qquad y=4,\qquad z=t,\quad t\in\mathbb{R}.
  • O plano é \pi_{xz}.
O que se pede:
  • Calcular a distância da reta r ao plano \pi_{xz}.

Passo 2

Interpretar a notação do plano \pi_{xz}. O plano formado pelos eixos x e z é o plano onde a coordenada y vale zero, portanto a equação cartesiana desse plano é
y=0.
Uma maneira de ver isso: todo ponto do plano \pi_{xz} tem coordenadas (x,0,z).

Passo 3

Obter um ponto e o vetor direcional da reta r. A reta tem equações x=3, y=4, z=t, então um ponto da reta (tomando t=0) é
P_0=(3,4,0).
O vetor direcional da reta é paralelo ao eixo z, logo
\vec{v}=(0,0,1).

Passo 4

Determinar se a reta é paralela ao plano. O plano \pi_{xz} tem vetor normal \vec{n}=(0,1,0) (porque a equação é 0\cdot x+1\cdot y+0\cdot z=0). Se \vec{v} for ortogonal a \vec{n}, então a reta é paralela ao plano. Calcule o produto escalar:
\vec{n}\cdot\vec{v}=(0,1,0)\cdot(0,0,1)=0.
Como o produto escalar é zero, \vec{v} é ortogonal a \vec{n} e portanto a reta r é paralela ao plano \pi_{xz}.

Passo 5

Quando uma reta é paralela a um plano, a distância entre a reta e o plano é igual à distância de qualquer ponto da reta ao plano. Vou usar a fórmula da distância de um ponto P=(x_0,y_0,z_0) ao plano de equação ax+by+cz+d=0:
\text{dist}(P,\text{plano})=\frac{|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
Aqui o plano é y=0, que pode ser escrito como 0\cdot x + 1\cdot y + 0\cdot z + 0 = 0. Para o ponto P_0=(3,4,0) obtemos
a=0,\quad b=1,\quad c=0,\quad d=0,\quad x_0=3,\quad y_0=4,\quad z_0=0.

Passo 6

Aplicando a fórmula:
\text{dist}(P_0,\pi_{xz})=\frac{|0\cdot 3 + 1\cdot 4 + 0\cdot 0 + 0|}{\sqrt{0^2+1^2+0^2}}=\frac{|4|}{1}=4.
Portanto a distância da reta r ao plano \pi_{xz} é 4.

Resposta

4

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