Determine a distância da reta r:\left\{\begin{array}{l}x=3 \\\ y=4 \\\ z=t\end{array}, t \in \mathbb{R}\right. :
ao plano \pi_{x z}.
Passo 1
O enunciado dá a reta r e pede a distância dessa reta ao plano \pi_{xz}.
Dados fornecidos:
A reta r é dada por
x=3,\qquad y=4,\qquad z=t,\quad t\in\mathbb{R}.
O plano é \pi_{xz}.
O que se pede:
Calcular a distância da reta r ao plano \pi_{xz}.
Passo 2
Interpretar a notação do plano \pi_{xz}. O plano formado pelos eixos x e z é o plano onde a coordenada y vale zero, portanto a equação cartesiana desse plano é
y=0.
Uma maneira de ver isso: todo ponto do plano \pi_{xz} tem coordenadas (x,0,z).
Passo 3
Obter um ponto e o vetor direcional da reta r. A reta tem equações x=3, y=4, z=t, então um ponto da reta (tomando t=0) é
P_0=(3,4,0).
O vetor direcional da reta é paralelo ao eixo z, logo
\vec{v}=(0,0,1).
Passo 4
Determinar se a reta é paralela ao plano. O plano \pi_{xz} tem vetor normal \vec{n}=(0,1,0) (porque a equação é 0\cdot x+1\cdot y+0\cdot z=0). Se \vec{v} for ortogonal a \vec{n}, então a reta é paralela ao plano. Calcule o produto escalar:
\vec{n}\cdot\vec{v}=(0,1,0)\cdot(0,0,1)=0.
Como o produto escalar é zero, \vec{v} é ortogonal a \vec{n} e portanto a reta r é paralela ao plano \pi_{xz}.
Passo 5
Quando uma reta é paralela a um plano, a distância entre a reta e o plano é igual à distância de qualquer ponto da reta ao plano. Vou usar a fórmula da distância de um ponto P=(x_0,y_0,z_0) ao plano de equação ax+by+cz+d=0:
\text{dist}(P,\text{plano})=\frac{|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
Aqui o plano é y=0, que pode ser escrito como 0\cdot x + 1\cdot y + 0\cdot z + 0 = 0. Para o ponto P_0=(3,4,0) obtemos