Nos exercícios 1 a 10, verifique se as funções são transformações lineares.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
é uma transformação linear.
Informações dadas:
Informações dadas:
- O domínio e contradomínio são
. - A regra de
é .
O que se deve responder: afirmar seé linear ou não.
Passo 2
Definição e propriedade útil (explicação didática): uma aplicação
é linear se, para todos os vetores
e todo escalar
, valem as duas propriedades:
Uma consequência imediata e muito útil dessa definição é que o vetor nulo deve ser preservado: para o vetor nulo
deve ocorrer
Justificativa curta: tomando
e usando
com
obtém-se
. Portanto, se calcular
e o resultado não for
, isso já basta para concluir que
não é linear. Essa é a checagem mais rápida na prova.
Passo 3
Calcular
usando a regra dada:
Como
, conclui-se imediatamente que
não preserva o vetor zero. Portanto
não satisfaz uma condição necessária para linearidade, logo
não é uma transformação linear.
Passo 4
Para reforço didático — mostrar explicitamente falha das propriedades (exemplo concreto).
Escolha os vetores e
.
Calcule :
Escolha os vetores
Calcule
Calcule
:
Como
e
, a aditividade falha neste exemplo. Também se pode ver a falha da homogeneidade: para
e
,
e
. Portanto tanto a aditividade quanto a homogeneidade podem ser violadas — confirmação adicional de que
não é linear.
Resposta
Não.
não é transformação linear.