Nos exercícios 1 a 10, verifique se as funções são transformações lineares.
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \quad T(x, y)=(x+1,2 x-y)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2},\qquad T(x,y)=(x+1,\;2x-y)
é uma transformação linear.
Informações dadas:
  • O domínio e contradomínio são \mathbb{R}^{2}.
  • A regra de T é T(x,y)=(x+1,\;2x-y).
    O que se deve responder: afirmar se T é linear ou não.

Passo 2

Definição e propriedade útil (explicação didática): uma aplicação T: \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} é linear se, para todos os vetores u,v\in\mathbb{R}^{2} e todo escalar c\in\mathbb{R}, valem as duas propriedades:
T(u+v)=T(u)+T(v) \qquad\text{(aditividade)}
T(c\,u)=c\,T(u) \qquad\text{(homogeneidade)}
Uma consequência imediata e muito útil dessa definição é que o vetor nulo deve ser preservado: para o vetor nulo (0,0) deve ocorrer
T(0,0)=(0,0).
Justificativa curta: tomando u=(0,0) e usando T(cu)=cT(u) com c=0 obtém-se T(0,0)=0\cdot T(u)=(0,0). Portanto, se calcular T(0,0) e o resultado não for (0,0), isso já basta para concluir que T não é linear. Essa é a checagem mais rápida na prova.

Passo 3

Calcular T(0,0) usando a regra dada:
T(0,0)=(0+1,\;2\cdot 0 - 0)=(1,\;0).
Como (1,0)\neq(0,0), conclui-se imediatamente que T não preserva o vetor zero. Portanto T não satisfaz uma condição necessária para linearidade, logo T não é uma transformação linear.

Passo 4

Para reforço didático — mostrar explicitamente falha das propriedades (exemplo concreto).
Escolha os vetores u=(0,0) e v=(1,0).
Calcule T(u+v)=T(1,0):
T(1,0)=(1+1,\;2\cdot1-0)=(2,\;2).
Calcule T(u)+T(v)=T(0,0)+T(1,0):
T(0,0)=(1,0),\qquad T(1,0)=(2,2),
T(0,0)+T(1,0)=(1,0)+(2,2)=(3,2).
Como T(u+v)=(2,2) e T(u)+T(v)=(3,2), a aditividade falha neste exemplo. Também se pode ver a falha da homogeneidade: para c=2 e w=(1,0),
T(2w)=T(2,0)=(2+1,\;4-0)=(3,4),
2\,T(w)=2\cdot(2,2)=(4,4),
e (3,4)\neq(4,4). Portanto tanto a aditividade quanto a homogeneidade podem ser violadas — confirmação adicional de que T não é linear.

Resposta

Não. T não é transformação linear.

Exercícios relacionados