Calcule a distância entre os planos paralelos:
\pi_{1}: x-2 z+1=0 e \pi_{2}: 3 x-6 z-8=0.

Passo 1

O enunciado dá duas equações de planos paralelos e pede a distância entre eles. As informações dadas são:
  • Plano \pi_{1}: x-2 z+1=0.
  • Plano \pi_{2}: 3 x-6 z-8=0.
O que é pedido:
  • Calcular a distância entre \pi_{1} e \pi_{2}.

Passo 2

Identificar os vetores normais dos planos e verificar o paralelismo. Para um plano escrito como a x+b y+c z+d=0, o vetor normal é \mathbf{n}=(a,b,c).
  • Para \pi_{1} temos \mathbf{n}_{1}=(1,0,-2) (peguei estes coeficientes da equação de \pi_{1}).
  • Para \pi_{2} temos \mathbf{n}_{2}=(3,0,-6) (peguei estes coeficientes da equação de \pi_{2}).
Note que \mathbf{n}_{2}=3\mathbf{n}_{1}, ou seja, os vetores normais são múltiplos um do outro. Logo os planos são paralelos (mesma direção normal).

Passo 3

Apresentar a fórmula que vamos usar e explicar por que ela vale. Se tivermos dois planos com o mesmo vetor normal \mathbf{n}=(a,b,c),
a x+b y+c z+d_1=0
e
a x+b y+c z+d_2=0,
a distância entre eles é
\text{dist}=\frac{|d_2-d_1|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
Por que? Escolha um ponto qualquer P=(x_0,y_0,z_0) no primeiro plano; então a x_0+b y_0+c z_0+d_1=0. A distância do ponto P ao segundo plano é \dfrac{|a x_0+b y_0+c z_0+d_2|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\dfrac{|d_2-d_1|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}. Esse valor é exatamente a distância entre os planos porque todos os pontos do primeiro plano têm a mesma distância direcionada ao segundo plano ao longo da normal.

Passo 4

Como as equações originais têm normas diferentes ( \mathbf{n}_2=3\mathbf{n}_1), fica mais simples igualar os coeficientes multiplicando \pi_{1} por 3. Multiplicando cada termo de \pi_{1} por 3 obtemos uma equação equivalente:
3x-6z+3=0.
Agora podemos aplicar a fórmula com os mesmos coeficientes a=3, b=0, c=-6, e os termos constantes d_1'=3 (da versão escalada de \pi_1) e d_2=-8 (da \pi_2, peguei este valor da equação dada).

Passo 5

Aplicar a fórmula e calcular passo a passo:
  • Diferença dos termos constantes:
|d_2-d_1'| = |-8-3| = | -11 | = 11.
  • Norma do vetor normal (3,0,-6):
\sqrt{3^2+0^2+(-6)^2}=\sqrt{9+36}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}.
  • Portanto a distância é
\text{dist}=\frac{11}{3\sqrt{5}}.
Se quiser racionalizar o denominador:
\frac{11}{3\sqrt{5}}=\frac{11\sqrt{5}}{3\cdot5}=\frac{11\sqrt{5}}{15}.

Passo 6

Checagem alternativa (opcional, para ganhar segurança): escolher um ponto em \pi_{1} e calcular sua distância até \pi_{2} pela fórmula ponto–plano. Um ponto simples em \pi_{1} é P=(-1,0,0) (peguei ao definir y=0, z=0 e resolver x-2\cdot0+1=0). Distância de P ao plano \pi_{2}:3x-6z-8=0 é
\frac{|3(-1)-6\cdot0-8|}{\sqrt{3^2+0^2+(-6)^2}}=\frac{|-3-8|}{3\sqrt{5}}=\frac{11}{3\sqrt{5}},
que coincide com o resultado anterior.

Resposta

\dfrac{11\sqrt{5}}{15}

Exercícios relacionados