Calcule a distância entre os planos paralelos:
e
.
Passo 1
O enunciado dá duas equações de planos paralelos e pede a distância entre eles. As informações dadas são:
- Plano
. - Plano
.
O que é pedido:
- Calcular a distância entre
e .
Passo 2
Identificar os vetores normais dos planos e verificar o paralelismo. Para um plano escrito como
, o vetor normal é
.
- Para
temos (peguei estes coeficientes da equação de ). - Para
temos (peguei estes coeficientes da equação de ).
Note que
, ou seja, os vetores normais são múltiplos um do outro. Logo os planos são paralelos (mesma direção normal).
Passo 3
Apresentar a fórmula que vamos usar e explicar por que ela vale. Se tivermos dois planos com o mesmo vetor normal
,
e
a distância entre eles é
Por que? Escolha um ponto qualquer
no primeiro plano; então
. A distância do ponto
ao segundo plano é
. Esse valor é exatamente a distância entre os planos porque todos os pontos do primeiro plano têm a mesma distância direcionada ao segundo plano ao longo da normal.
Passo 4
Como as equações originais têm normas diferentes (
), fica mais simples igualar os coeficientes multiplicando
por
. Multiplicando cada termo de
por
obtemos uma equação equivalente:
Agora podemos aplicar a fórmula com os mesmos coeficientes
,
,
, e os termos constantes
(da versão escalada de
) e
(da
, peguei este valor da equação dada).
Passo 5
Aplicar a fórmula e calcular passo a passo:
- Diferença dos termos constantes:
- Norma do vetor normal
:
- Portanto a distância é
Se quiser racionalizar o denominador:
Passo 6
Checagem alternativa (opcional, para ganhar segurança): escolher um ponto em
e calcular sua distância até
pela fórmula ponto–plano. Um ponto simples em
é
(peguei ao definir
,
e resolver
). Distância de
ao plano
é
que coincide com o resultado anterior.