Determine as distâncias entre as retas reversas:

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos duas retas reversas no espaço dadas por
r:;x=2+lambda,;y=-3,;z=lambda s:;x=4+mu,;y=-1+mu,;z=1-mu
O objetivo é calcular a distância entre essas retas. O conteúdo é geometria analítica em R^3, mais precisamente a fórmula da distância entre retas skew (reversas) usando produto vetorial.

Passo 2

Identificamos um ponto e o vetor direção de cada reta:
Para r, um ponto é
A = (2,-3,0)
e o vetor direção
u = (1,0,1),
pois x = 2 + lambda e z = lambda mostram que a variação em x e z por unidade de lambda é (1,0,1).
Para s, um ponto é
B = (4,-1,1)
e o vetor direção
v = (1,1,-1)
O vetor que liga A a B é
AB = B - A = (4 - 2,;-1 + 3,;1 - 0) = (2,2,1)
A fórmula geral para a distância entre retas reversas é
d = l|AB cdot (u times v)r||,u times v,|

Passo 3

Calculamos o produto vetorial
utimes v = i & j & k 1 & 0 & 1 1 & 1 & -1 =(-1,2,1)
e o seu módulo
|,utimes v,| =raiz(-1)^2+2^2+1^2 =raiz6

Passo 4

Agora o produto escalar
ABcdot(utimes v) =(2,2,1)cdot(-1,2,1) =-2+4+1 =3
Logo
d=|3|raiz6 =3raiz6 =raiz62

Resposta

A distância entre as retas é raiz62.

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