Num tetraedro A B C D, A B=(2,-1,3), A C=(4,0,2), A D=(-4, m, m^2), m in R. Calcule o valor de m tal que o volume V do tetraedro seja mínimo. Qual é esse volume V mínimo?

Passo 1

O enunciado dá um tetraedro A B C D em R^3 com
A B=(2,-1,3), A C=(4,0,2), A D=(-4,m,m^2)
O conteúdo aqui é o cálculo de volume de tetraedro via produto misto:
V(m)=16l|detl[A B,,A C,,A Dr]r|

Passo 2

Colocamos as coordenadas dos vetores como colunas de uma matriz e escrevemos o determinante em função de m:
M = 2 & 4 & -4 -1 & 0 & m 3 & 2 & m^2 ,
det M = 20 & m 2 & m^2 -4-1 & m 3 & m^2 +(-4)-1 & 0 3 & 2

Passo 3

Calculamos cada menor:
0 & m 2 & m^2 =0cdot m^2 - 2cdot m = -2m,
-1 & m 3 & m^2 =(-1),m^2 - 3,m = -m^2 - 3m,
-1 & 0 3 & 2 =(-1)cdot2 - 3cdot0 = -2
Substituindo:
det M = 2(-2m) ;-;4(-m^2-3m);+;(-4)(-2) = -4m +4m^2+12m +8 =4m^2+8m+8

Passo 4

Como 4m^2+8m+8 é sempre positivo (o discriminante é 8^2-4cdot4cdot8<0), temos
V(m)=16(4m^2+8m+8)
Isso é uma função quadrática de m com coeficiente de m^2 positivo, logo assume mínimo em seu vértice.

Passo 5

O vértice da parábola f(m)=4m^2+8m+8 ocorre em
m0 = -82cdot4 = -1
O valor mínimo de f é
f(-1) = 4cdot(-1)^2 +8cdot(-1) +8 = 4 -8 +8 = 4,
portanto
Vmin = 46 = 23

Resposta

m=-1 e Vmin=tfrac23

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