Num tetraedro
. Calcule o valor de
m tal que o volume
V do tetraedro seja mínimo. Qual é esse volume
V mínimo?
Passo 1
O enunciado dá um tetraedro
A B C D em
R^3 com
O conteúdo aqui é o cálculo de volume de tetraedro via produto misto:
Passo 2
Colocamos as coordenadas dos vetores como colunas de uma matriz e escrevemos o determinante em função de
m :
Passo 3
Calculamos cada menor:
Substituindo:
Passo 4
Como
4m^2+8m+8 é sempre positivo (o discriminante é
8^2-4cdot4cdot8<0 ), temos
Isso é uma função quadrática de
m com coeficiente de
m^2 positivo, logo assume mínimo em seu vértice.
Passo 5
O vértice da parábola
f(m)=4m^2+8m+8 ocorre em
O valor mínimo de
f é
portanto