Determine, para a distribuição normal padrão, o
(a) Percentil 91 %
(b) Percentil 25%
© Percentil 50% (Também conhecido como mediana.)
(d) Percentil 75%
(e) Considere agora X sim N(mu, sigma^2). Faça os itens anteriores para X.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai trabalhar com a distribuição normal padrão, que é uma ferramenta super importante na estatística. O que a gente precisa fazer aqui é encontrar certos percentis dessa distribuição, que são valores que dividem a distribuição em partes específicas. Para isso, vamos usar a tabela da distribuição normal ou funções inversas que ajudam a encontrar esses valores.

Passo 2

(a) Percentil 91%

Primeiro, vamos entender o que é um percentil. O percentil 91% é o valor abaixo do qual 91% dos dados estão distribuídos. Para achar esse valor na distribuição normal padrão, usamos a função inversa da distribuição acumulada, conhecida como função quantil.
Usando uma tabela Z ou uma calculadora estatística, encontramos que o z correspondente ao percentil 91% é aproximadamente:
z0,91 approx 1,34

Passo 3

(b) Percentil 25%

Agora, vamos para o percentil 25%, que é o valor abaixo do qual 25% dos dados estão. Fazemos o mesmo processo:
z0,25 approx -0,674

Passo 4

© Percentil 50% (Mediana)

O percentil 50% é a mediana da distribuição, ou seja, o ponto que divide a distribuição ao meio. Para a distribuição normal padrão, sabemos que a mediana coincide com a média, que é 0:
z0,50 = 0

Passo 5

(d) Percentil 75%

Por fim, o percentil 75% é o valor abaixo do qual 75% dos dados estão. Utilizando a tabela Z novamente:
z0,75 approx 0,674

Passo 6

(e) Para $ X \sim \mathrm{~N}\left(\mu, \sigma^{2}\right) $

Agora, vamos generalizar para uma distribuição normal qualquer $ X $ com média $ \mu $ e variância $ \sigma^{2} $. Os percentis dessa distribuição podem ser encontrados ajustando os percentis da distribuição padrão:
X sim N(mu, sigma^2)
Onde $ z_p $ é o percentil da distribuição padrão que já calculamos.
Então, para cada percentil:
  • Percentil 91%:
    X
  • Percentil 25%:
    mu
  • Percentil 50%:
    sigma^2
  • Percentil 75%:
    xp = mu + zp cdot sigma

Resposta

(a) Percentil 91%: $ z \approx 1,34 $
(b) Percentil 25%: $ z \approx -0,674 $
© Percentil 50%: $ z = 0 $
(d) Percentil 75%: $ z \approx 0,674 $
(e) Para $ X \sim \mathrm{~N}\left(\mu, \sigma^{2}\right) $:
  • Percentil 91%: $ x \approx \mu + 1,34 \cdot \sigma $
  • Percentil 25%: $ x \approx \mu - 0,674 \cdot \sigma $
  • Percentil 50%: $ x = \mu $
  • Percentil 75%: $ x \approx \mu + 0,674 \cdot \sigma $

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