Suponha que as árvores sejam distribuídas numa floresta de acordo com um processo de Poisson. O número esperado de árvores por acre é igual a
hectares, 1 hectare
acres
. Se a floresta cobrir 85000 hectares.
(a) Qual a probabilidade da floresta ter 5000000 ou mais, porém não mais que 11000000 de árvores? .
(b) Determine a quantidade de árvores tal que a probabilidade da floresta conter mais que essa quantidade de árvores é 0,9.
(a) Qual a probabilidade da floresta ter 5000000 ou mais, porém não mais que 11000000 de árvores? .
(b) Determine a quantidade de árvores tal que a probabilidade da floresta conter mais que essa quantidade de árvores é 0,9.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Estamos lidando com distribuições de árvores em uma floresta usando um processo de Poisson, que é uma ferramenta matemática para modelar eventos que acontecem de forma aleatória no tempo ou no espaço. Aqui, o conteúdo está relacionado a probabilidade e processos estocásticos. Precisaremos usar fórmulas do processo de Poisson e conversões de unidades de área para resolver os itens (a) e (b).
Passo 2
Primeiro, vamos entender quantas árvores esperamos ter na floresta. Sabemos que há 80 árvores por acre. Precisamos converter a área da floresta de hectares para acres para encontrar o número esperado de árvores.
Sabemos que:
- 1 hectare = 2,47 acres
- A floresta tem 85.000 hectares
Então, a área em acres será:
Passo 3
Agora, calculamos o número esperado de árvores na floresta. Se tem 80 árvores por acre, então:
Aqui,
Passo 4
Vamos para o item (a). Queremos a probabilidade da floresta ter entre 5.000.000 e 11.000.000 de árvores. Como estamos lidando com grandes números e um processo de Poisson com
, podemos aproximar a distribuição de Poisson por uma Distribuição Normal, usando a média
e o desvio padrão
.
Então:
Passo 5
Agora, padronizamos os valores para usar a tabela da distribuição normal padrão.
Para $ X = 5.000.000 $:
Para $ X = 11.000.000 $:
Passo 6
Consultando a tabela da distribuição normal padrão, encontramos as probabilidades correspondentes aos valores de Z:
A probabilidade de estar entre 5.000.000 e 11.000.000 de árvores é:
Passo 7
Para o item (b), queremos encontrar a quantidade de árvores $ k $ tal que a probabilidade da floresta ter mais de $ k $ árvores seja 0,9. Isso significa que queremos o percentil 10 da distribuição.
Usando a distribuição normal padrão:
O valor de $ z $ correspondente a 0.1 é aproximadamente -1.282.
Passo 8
Agora, voltamos à escala original para encontrar $ k $:
Resposta
(a) A probabilidade da floresta ter entre 5.000.000 e 11.000.000 de árvores é aproximadamente 7,38%.
(b) A quantidade de árvores tal que a probabilidade da floresta conter mais que essa quantidade é 0,9 é aproximadamente 16.790.755 árvores.