Suponha que as árvores sejam distribuídas numa floresta de acordo com um processo de Poisson. O número esperado de árvores por acre é igual a 80 [1 km^2=640 hectares, 1 hectare =2,47 acres ]. Se a floresta cobrir 85000 hectares.
(a) Qual a probabilidade da floresta ter 5000000 ou mais, porém não mais que 11000000 de árvores? .
(b) Determine a quantidade de árvores tal que a probabilidade da floresta conter mais que essa quantidade de árvores é 0,9.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Estamos lidando com distribuições de árvores em uma floresta usando um processo de Poisson, que é uma ferramenta matemática para modelar eventos que acontecem de forma aleatória no tempo ou no espaço. Aqui, o conteúdo está relacionado a probabilidade e processos estocásticos. Precisaremos usar fórmulas do processo de Poisson e conversões de unidades de área para resolver os itens (a) e (b).

Passo 2

Primeiro, vamos entender quantas árvores esperamos ter na floresta. Sabemos que há 80 árvores por acre. Precisamos converter a área da floresta de hectares para acres para encontrar o número esperado de árvores.
Sabemos que:
  • 1 hectare = 2,47 acres
  • A floresta tem 85.000 hectares
Então, a área em acres será:
85.000 hectares times 2,47 acres/hectare = 209.950 acres

Passo 3

Agora, calculamos o número esperado de árvores na floresta. Se tem 80 árvores por acre, então:
lambda = 80 times 209.950 = 16.796.000
Aqui, lambda é o parâmetro do processo de Poisson, que representa o número esperado de eventos (árvores, nesse caso).

Passo 4

Vamos para o item (a). Queremos a probabilidade da floresta ter entre 5.000.000 e 11.000.000 de árvores. Como estamos lidando com grandes números e um processo de Poisson com lambda = 16.796.000, podemos aproximar a distribuição de Poisson por uma Distribuição Normal, usando a média mu = lambda e o desvio padrão sigma = raizlambda.
Então:
mu = 16.796.000
sigma = raiz16.796.000 approx 4.096

Passo 5

Agora, padronizamos os valores para usar a tabela da distribuição normal padrão.
Para $ X = 5.000.000 $:
X = 5.000.000
Para $ X = 11.000.000 $:
Z = 5.000.000 - 16.796.0004.096 approx -2.847

Passo 6

Consultando a tabela da distribuição normal padrão, encontramos as probabilidades correspondentes aos valores de Z:
P(Z <= -1.428) approx 0.076
P(Z <= -2.847) approx 0.0022
A probabilidade de estar entre 5.000.000 e 11.000.000 de árvores é:
P(-2.847 <= Z <= -1.428) = 0.076 - 0.0022 = 0.0738

Passo 7

Para o item (b), queremos encontrar a quantidade de árvores $ k $ tal que a probabilidade da floresta ter mais de $ k $ árvores seja 0,9. Isso significa que queremos o percentil 10 da distribuição.
Usando a distribuição normal padrão:
k
O valor de $ z $ correspondente a 0.1 é aproximadamente -1.282.

Passo 8

Agora, voltamos à escala original para encontrar $ k $:
k
k = mu + z times sigma
k = 16.796.000 + (-1.282) times 4.096
k approx 16.796.000 - 5.245

Resposta

(a) A probabilidade da floresta ter entre 5.000.000 e 11.000.000 de árvores é aproximadamente 7,38%.
(b) A quantidade de árvores tal que a probabilidade da floresta conter mais que essa quantidade é 0,9 é aproximadamente 16.790.755 árvores.

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