Determine a divergência e o rotacional dos campos de vetores dados abaixo.
F^prime(x, y, z)=(e^x cos (y), e^x sin (y), e^z)

Passo 1

O enunciado pede a divergência e o rotacional do campo de vetores
F'(x,y,z) = l(e^xcos y,;e^xsin y,;e^zr).
Vamos usar as definições de cálculo vetorial:
– Divergência:
nablacdotF' = partial Ppartial x + partial Qpartial y + partial Rpartial z,
onde P=e^xcos y, Q=e^xsin y, R=e^z.
– Rotacional:
nablatimesF' = l(partial Rpartial y-partial Qpartial z,; partial Ppartial z-partial Rpartial x,; partial Qpartial x-partial Ppartial yr)

Passo 2

Calcular cada termo da divergência:
partial Ppartial x = partialpartial xl(e^xcos yr) = e^xcos y,
partial Qpartial y = partialpartial yl(e^xsin yr) = e^xcos y,
partial Rpartial z = partialpartial zl(e^zr) = e^z
Somando, obtemos
nablacdotF' = e^xcos y + e^xcos y + e^z = 2,e^xcos y + e^z

Passo 3

Calcular as componentes do rotacional:
  1. Componente i:
partial Rpartial y - partial Qpartial z = 0 - 0 = 0,
pois R=e^z não depende de y e Q=e^xsin y não depende de z.
2. Componente j:
partial Ppartial z - partial Rpartial x = 0 - 0 = 0,
pois P=e^xcos y não depende de z e R=e^z não depende de x.
3. Componente k:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = e^xsin y - l(-e^xsin yr) = 2,e^xsin y
Logo
nablatimesF' = l(0,;0,;2,e^xsin yr)

Resposta

Divergência:
nablacdotF' = 2,e^xcos y + e^z
Rotacional:
nablatimesF' = l(0,;0,;2,e^xsin yr)

Exercícios relacionados