Determine a divergência e o rotacional dos campos de vetores dados abaixo.
F(x, y, z)=(cos (x y), cos (y z), sin (x z))

Passo 1

O enunciado pede a divergência e o rotacional do campo
vec F(x,y,z) = l(cos(xy),,cos(yz),,sin(xz)r).
O que precisamos é aplicar as definições
nablacdotvec F = partial F1partial x + partial F2partial y + partial F3partial z
e
nablatimesvec F = l(partial F3partial y-partial F2partial z,;partial F1partial z-partial F3partial x,;partial F2partial x-partial F1partial yr),
calculando derivadas parciais de cada componente.

Passo 2

Para a divergência usamos
nablacdotvec F = partialpartial xcos(xy) + partialpartial ycos(yz) + partialpartial zsin(xz)
Calculando cada termo:
partialpartial xcos(xy) = -,ysin(xy),
partialpartial ycos(yz) = -,zsin(yz),
partialpartial zsin(xz) = xcos(xz).
Somando, vem
nablacdotvec F = -,ysin(xy);-;zsin(yz);+;xcos(xz)

Passo 3

Para o rotacional usamos
nablatimesvec F =l( underbracepartialpartial ysin(xz)=0 -underbracepartialpartial zcos(yz)=-,ysin(yz),; underbracepartialpartial zcos(xy)=0 -underbracepartialpartial xsin(xz)=zcos(xz),; underbracepartialpartial xcos(yz)=0 -underbracepartialpartial ycos(xy)=-,xsin(xy) r)
Isso dá
nablatimesvec F =l(ysin(yz),;-,zcos(xz),;xsin(xy)r)

Resposta

Divergência:
nablacdotvec F = -,ysin(xy) - zsin(yz) + xcos(xz)
Rotacional:
nablatimesvec F = l(ysin(yz),,-zcos(xz),,xsin(xy)r)

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