Determine a divergência e o rotacional dos campos de vetores dados abaixo.
F(x, y, z)=(sin (y) cos (x), cos (x z), cos (y z))

Passo 1

O enunciado nos dá o campo de vetores
vec F(x,y,z)=l(sin(y)cos(x),;cos(xz),;cos(yz)r)
e pede a divergência nabla!cdot!vec F e o rotacional nablatimesvec F. Vamos usar as definições de derivadas parciais para cada componente.

Passo 2

A divergência é
nabla!cdot!vec F = partialpartial xl[sin(y)cos(x)r] + partialpartial yl[cos(xz)r] + partialpartial zl[cos(yz)r]
Calculando termo a termo:
partialpartial xl[sin(y)cos(x)r] = -sin(y)sin(x), partialpartial yl[cos(xz)r] = 0, partialpartial zl[cos(yz)r] = -y,sin(yz)
Logo,
nabla!cdot!vec F = -sin(y)sin(x);-;y,sin(yz)

Passo 3

O rotacional é dado pelo determinante
nablatimesvec F = i & j & k partialx & partialy & partialz sin(y)cos(x) & cos(xz) & cos(yz)
Calculamos cada componente:
(nablatimesvec F)x = partialpartial yl[cos(yz)r] - partialpartial zl[cos(xz)r] = -zsin(yz) - l(-xsin(xz)r) = -zsin(yz) + xsin(xz),
(nablatimesvec F)y = partialpartial zl[sin(y)cos(x)r] - partialpartial xl[cos(yz)r] = 0 - 0 = 0,
(nablatimesvec F)z = partialpartial xl[cos(xz)r] - partialpartial yl[sin(y)cos(x)r] = -zsin(xz);-;cos(x)cos(y)
Portanto,
nablatimesvec F =l(-zsin(yz)+xsin(xz),;0,;-zsin(xz)-cos(x)cos(y)r)

Resposta

nabla!cdot!vec F = -sin(y)sin(x);-;y,sin(yz), nablatimesvec F =l(-zsin(yz)+xsin(xz),;0,;-zsin(xz)-cos(x)cos(y)r)

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