Determinar se as sequências abaixo convergem ou divergem.
😎
(n-1)(n+1)2 n^2+2 n+2
_{n \in N^{*}}

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
an=(n-1)(n+1)2,n^2+2,n+2, ninN^*,
e pede para determinar se ela converge ou diverge. Aqui o conteúdo é limite de sequência e convergência de sequência real.

Passo 2

Primeiro, expandimos o numerador e escrevemos tudo em função de potências de n:
an=n^2-12,n^2+2,n+2
Em seguida, dividimos numerador e denominador por n^2 para expor termos que tendem a zero:
an =n^2-1n^22,n^2+2,n+2n^2 =1-1n^22+2,1n+2,1n^2

Passo 3

Agora, ao fazermos ntoinfty, os termos tfrac1n e tfrac1n^2 vão a zero. Logo,
limntoinftyan =1-02+0+0 =12

Passo 4

Como o limite existe e é finito, a sequência converge. O valor de convergência é tfrac12.

Resposta

A sequência converge e
limntoinftyan=12

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