Considere a curva alpha(t)=(x(t), y(t)), sendo x(t)=e^-t cos t e y(t)=e^-t sin t.
Calcule alpha^prime(t0), sendo t0=pi

Passo 1

Então, a gente tem uma curva parametrizada por alpha(t) = (x(t), y(t)), onde x(t) = e^-t cos t e y(t) = e^-t sin t. O que a gente precisa fazer é encontrar a derivada da curva, ou seja, alpha'(t), no ponto onde t = pi. Para isso, vamos precisar saber como derivar funções que envolvem exponenciais e funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que alpha'(t) é a derivada da função alpha(t) em relação a t. Isso significa que precisamos derivar cada componente da função vetorial separadamente. Ou seja, vamos encontrar x'(t) e y'(t).

Passo 3

Vamos começar derivando x(t) = e^-t cos t. Para isso, usamos a regra do produto, pois temos a multiplicação de e^-t e cos t:
x'(t) = ddt ( e^-t ) cos t + e^-t ddt ( cos t )
Sabemos que ddt e^-t = -e^-t e ddt cos t = -sin t, então:
x'(t) = -e^-t cos t - e^-t sin t = -e^-t (cos t + sin t)

Passo 4

Agora, vamos derivar y(t) = e^-t sin t, novamente usando a regra do produto:
y'(t) = ddt ( e^-t ) sin t + e^-t ddt ( sin t )
Sabemos que ddt e^-t = -e^-t e ddt sin t = cos t, então:
y'(t) = -e^-t sin t + e^-t cos t = e^-t (cos t - sin t)

Passo 5

Agora que temos x'(t) e y'(t), podemos montar a derivada da curva alpha'(t):
alpha'(t) = ( x'(t), y'(t) ) = ( -e^-t (cos t + sin t), e^-t (cos t - sin t) )

Passo 6

Finalmente, substituímos t = pi na expressão de alpha'(t):
alpha'(pi) = ( -e^-pi (cos pi + sin pi), e^-pi (cos pi - sin pi) )
Sabemos que cos pi = -1 e sin pi = 0, então:
alpha'(pi) = ( -e^-pi (-1 + 0), e^-pi (-1 - 0) ) = ( e^-pi, -e^-pi )

Resposta

A derivada da curva no ponto t0 = pi é alpha'(pi) = ( e^-pi, -e^-pi ).

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