Todas as questões devem ter suas justificativas através de conceitos vistos em sala.
Decida se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa, justificando: existe uma função
tal que
Decida se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa, justificando: existe uma função
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente decidir se é verdade ou falsa a afirmação de que existe uma função $ f: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ tal que suas derivadas parciais sejam
Vamos precisar usar conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente sobre condições para que uma função com determinadas derivadas parciais exista.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de um conceito importante: para que uma função $ f $ exista com as derivadas parciais dadas, as derivadas mistas dela precisam ser iguais. Ou seja, a derivada de $ \frac{\partial f}{\partial x} $ em relação a $ y $ deve ser igual à derivada de $ \frac{\partial f}{\partial y} $ em relação a $ x $. Matemáticamente, isso significa:
Essa é chamada de condição de compatibilidade ou condição de igualdade das derivadas mistas.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas mistas. Primeiro, derivamos $ \frac{\partial f}{\partial x} = y^{3} $ em relação a $ y $:
Agora, derivamos $ \frac{\partial f}{\partial y} = y \cdot \sin(x) $ em relação a $ x $:
Passo 4
Agora, vamos comparar as duas derivadas mistas que encontramos:
Para que a função $ f $ exista, essas duas expressões precisam ser iguais para todo $ x $ e $ y $.
Passo 5
Observando as expressões, vemos que $ 3y^{2} $ depende de $ y $ de uma forma que não pode ser igualada a $ y \cdot \cos(x) $, a menos que $ \cos(x) $ seja uma função específica que anule a diferença, o que não é o caso para todo $ x $ e $ y $.
Resposta
A afirmação é falsa. Não existe uma função $ f $ que satisfaça as derivadas parciais dadas porque as derivadas mistas não são iguais.