Todas as questões devem ter suas justificativas através de conceitos vistos em sala.
Decida se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa, justificando: existe uma função f: R times R R tal que
partial fpartial x(x, y)=y^3 e partial fpartial y(x, y)=y sen(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente decidir se é verdade ou falsa a afirmação de que existe uma função $ f: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ tal que suas derivadas parciais sejam
f: R times R R
Vamos precisar usar conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente sobre condições para que uma função com determinadas derivadas parciais exista.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de um conceito importante: para que uma função $ f $ exista com as derivadas parciais dadas, as derivadas mistas dela precisam ser iguais. Ou seja, a derivada de $ \frac{\partial f}{\partial x} $ em relação a $ y $ deve ser igual à derivada de $ \frac{\partial f}{\partial y} $ em relação a $ x $. Matemáticamente, isso significa:
f
Essa é chamada de condição de compatibilidade ou condição de igualdade das derivadas mistas.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas mistas. Primeiro, derivamos $ \frac{\partial f}{\partial x} = y^{3} $ em relação a $ y $:
partial fpartial x = y^3
Agora, derivamos $ \frac{\partial f}{\partial y} = y \cdot \sin(x) $ em relação a $ x $:
y

Passo 4

Agora, vamos comparar as duas derivadas mistas que encontramos:
3y^2 e y cdot cos(x)
Para que a função $ f $ exista, essas duas expressões precisam ser iguais para todo $ x $ e $ y $.

Passo 5

Observando as expressões, vemos que $ 3y^{2} $ depende de $ y $ de uma forma que não pode ser igualada a $ y \cdot \cos(x) $, a menos que $ \cos(x) $ seja uma função específica que anule a diferença, o que não é o caso para todo $ x $ e $ y $.

Resposta

A afirmação é falsa. Não existe uma função $ f $ que satisfaça as derivadas parciais dadas porque as derivadas mistas não são iguais.

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