Determine a divergência e o rotacional dos seguintes campos de vetores:
F(x, y, z)=(x y z^2, x y^3 z,-x y z^3)

Passo 1

O enunciado pede para a gente encontrar a divergência e o rotacional do campo vetorial
F(x,y,z) = (x y z^2, x y^3 z, – x y z^3). Isso faz parte de Cálculo Vetorial e a gente vai usar as definições de divergência (soma das derivadas parciais dos componentes) e rotacional (determinante formal com operadores diferenciais).

Passo 2

Para calcular a divergência, aplicamos
∇·F = ∂∂x(x y z^2) + ∂∂y(x y^3 z) + ∂∂z(-x y z^3)
Calculando cada termo:
∂∂x(x y z^2) = y z^2,
∂∂y(x y^3 z) = 3 x y^2 z,
∂∂z(-x y z^3) = -3 x y z^2
Somando, a divergência fica
∇·F = y z^2 + 3 x y^2 z - 3 x y z^2

Passo 3

Para o rotacional, usamos a definição em forma de determinante:
∇×F = i & j & k ∂∂x & ∂∂y & ∂∂z x y z^2 & x y^3 z & -x y z^3
Desenvolvendo por cofactores, obtemos os componentes:
Primeiro componente:
(∇×F)1 = ∂∂y(-x y z^3) - ∂∂z(x y^3 z) = -x z^3 - x y^3 = -x(y^3 + z^3)
Segundo componente:
(∇×F)2 = ∂∂z(x y z^2) - ∂∂x(-x y z^3) = 2 x y z + y z^3 = y z(2 x + z^2)
Terceiro componente:
(∇×F)3 = ∂∂x(x y^3 z) - ∂∂y(x y z^2) = y^3 z - x z^2
Juntando, o rotacional é
∇×F = l(-x(y^3+z^3),;y z(2x+z^2),;y^3 z - x z^2r)

Resposta

Divergência: ∇·F = y z^2 + 3 x y^2 z - 3 x y z^2
Rotacional: ∇×F = l(-x(y^3+z^3),;y z(2x+z^2),;y^3 z - x z^2r)

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