Determine a divergência e o rotacional dos seguintes campos de vetores:
Passo 1
O enunciado pede para a gente encontrar a divergência e o rotacional do campo vetorial
F(x,y,z) = (x y z^2, x y^3 z, – x y z^3). Isso faz parte de Cálculo Vetorial e a gente vai usar as definições de divergência (soma das derivadas parciais dos componentes) e rotacional (determinante formal com operadores diferenciais).
Passo 2
Para calcular a divergência, aplicamos
Calculando cada termo:
Somando, a divergência fica
Passo 3
Para o rotacional, usamos a definição em forma de determinante:
Desenvolvendo por cofactores, obtemos os componentes:
Primeiro componente:
(∇×F)1 = ∂∂y(-x y z^3) - ∂∂z(x y^3 z) = -x z^3 - x y^3 = -x(y^3 + z^3)
Segundo componente:
(∇×F)2 = ∂∂z(x y z^2) - ∂∂x(-x y z^3) = 2 x y z + y z^3 = y z(2 x + z^2)
Terceiro componente:
(∇×F)3 = ∂∂x(x y^3 z) - ∂∂y(x y z^2) = y^3 z - x z^2
Juntando, o rotacional é
∇×F = l(-x(y^3+z^3),;y z(2x+z^2),;y^3 z - x z^2r)
Resposta
Divergência: ∇·F = y z^2 + 3 x y^2 z - 3 x y z^2
Rotacional: ∇×F = l(-x(y^3+z^3),;y z(2x+z^2),;y^3 z - x z^2r)