Determine dois números cuja soma seja 45 e cujo produto seja máximo.

Passo 1

O enunciado pede dois números cuja soma seja 45 e cujo produto seja máximo. Estamos no tópico de otimização de funções de uma variável, pois podemos reduzir o problema a uma única variável usando a condição da soma.

Passo 2

Seja um dos números igual a x e o outro a y. Pela condição x + y = 45, podemos escrever y = 45 - x. O produto a maximizar é P = x y, ou seja,
P(x) = x,(45 - x) = 45x - x^2

Passo 3

Para encontrar o máximo, derivamos P(x) e igualamos a zero:
P'(x) = 45 - 2x

Passo 4

Igualando P'(x) = 0
45 - 2x = 0 Longrightarrow x = 22.5 Verificamos que P''(x) = -2 < 0, logo este ponto é de máximo.

Passo 5

Substituindo em y = 45 - x, temos y = 45 - 22.5 = 22.5.

Resposta

Os dois números são 22.5 e 22.5.

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