Utilize o métodos dos multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeito à restrição dada:
f(x, y)=5 x+y^2 ; x y=2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar os valores máximo e mínimo da função com a restrição . Isso faz parte do conteúdo de otimização com restrições usando os Multiplicadores de Lagrange. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar esse método para encontrar pontos onde a função pode alcançar seus extremos, respeitando a condição dada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são os Multiplicadores de Lagrange. É uma técnica usada para encontrar os máximos e mínimos de uma função sujeita a uma restrição. A ideia é combinar a função que queremos otimizar com a restrição, introduzindo um multiplicador (λ) que ajuda a equilibrar as mudanças nas duas funções.

Passo 3

Vamos montar a função de Lagrange. Ela é dada por:
L(x, y, lambda) = f(x, y) - lambda (g(x, y) - c)
Onde:
  • L(x, y, lambda) = 5x + y^2 - lambda (xy - 2) é a função que queremos otimizar.
  • é a função da restrição.
  • é o valor da restrição.
Então, a nossa função de Lagrange fica:

Passo 4

Agora, para encontrar os pontos críticos, precisamos calcular as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a partial Lpartial x = 5 - lambda y = 0 (1) , partial Lpartial y = 2y - lambda x = 0 (2) e partial Lpartial lambda = -(xy - 2) = 0 (3) , e igualá-las a zero.
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações:
Da equação (1):
5 - lambda y = 0 implies lambda = 5y
Da equação (2):
2y - lambda x = 0 implies lambda = 2yx
Igualando as duas expressões para 5y = 2yx implies 5x = 2y^2 implies x = 2y^25 :

Passo 6

Agora, usamos a equação da restrição (3):
xy = 2
Substituindo (2y^25) y = 2 implies 2y^35 = 2 implies y^3 = 5 implies y = raiz[3]5 por :

Passo 7

Com x = 2y^25 = 2(raiz[3]5)^25 = 2 cdot 5^2/35 = 25^1/3 , vamos encontrar :

Passo 8

Agora, vamos calcular o valor de f(x, y) = 5x + y^2 = 5(25^1/3) + (raiz[3]5)^2 = 105^1/3 + 5^2/3 nesse ponto:
Podemos simplificar isso se quisermos, mas vamos deixar assim para manter a clareza.

Resposta

O ponto onde a função x = 25^1/3, y = raiz[3]5 atinge seu valor mínimo sujeito à restrição f(x, y) = 105^1/3 + 5^2/3 é:
E o valor mínimo da função é:

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