Utilize o métodos dos multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeito à restrição dada:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar os valores máximo e mínimo da função
com a restrição
. Isso faz parte do conteúdo de otimização com restrições usando os Multiplicadores de Lagrange. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar esse método para encontrar pontos onde a função pode alcançar seus extremos, respeitando a condição dada.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são os Multiplicadores de Lagrange. É uma técnica usada para encontrar os máximos e mínimos de uma função sujeita a uma restrição. A ideia é combinar a função que queremos otimizar com a restrição, introduzindo um multiplicador (λ) que ajuda a equilibrar as mudanças nas duas funções.
Passo 3
Vamos montar a função de Lagrange. Ela é dada por:
Onde:
-
é a função que queremos otimizar. -
é a função da restrição. -
é o valor da restrição.
Então, a nossa função de Lagrange fica:
Passo 4
Agora, para encontrar os pontos críticos, precisamos calcular as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a
,
e
, e igualá-las a zero.
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema de equações:
Da equação (1):
Da equação (2):
Igualando as duas expressões para
:
Passo 6
Agora, usamos a equação da restrição (3):
Substituindo
por
:
Passo 7
Com
, vamos encontrar
:
Passo 8
Agora, vamos calcular o valor de
nesse ponto:
Podemos simplificar isso se quisermos, mas vamos deixar assim para manter a clareza.
Resposta
O ponto onde a função
atinge seu valor mínimo sujeito à restrição
é:
E o valor mínimo da função é: