Encontre a segunda derivada
se
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a segunda derivada de uma curva dada implicitamente por x{2}+y{4}=16, ou seja, y’’ em função de x e y. O conteúdo envolvido é diferenciação implícita e regra da cadeia.
Passo 2
Diferenciamos a equação x{2}+y{4}=16 em relação a x, aplicando a derivada de x^{2} e a regra da cadeia em y^{4}:
Isso dá
Passo 3
Isolamos y’ para obter a primeira derivada:
Passo 4
Para achar y’’, diferenciamos y’ = -\tfrac{1}{2} x y^{-3} em relação a x. Usamos produto e regra da cadeia:
Passo 5
Substituímos y’ = -\tfrac{x}{2y^{3}} na expressão acima:
Simplificando cada termo:
Colocando sobre um denominador comum 4y^{7}: