Encontre a segunda derivada y^prime prime se x^2+y^4=16.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a segunda derivada de uma curva dada implicitamente por x{2}+y{4}=16, ou seja, y’’ em função de x e y. O conteúdo envolvido é diferenciação implícita e regra da cadeia.

Passo 2

Diferenciamos a equação x{2}+y{4}=16 em relação a x, aplicando a derivada de x^{2} e a regra da cadeia em y^{4}:
ddx(x^2) + ddx(y^4) = ddx(16)
Isso dá
2x + 4y^3y' = 0

Passo 3

Isolamos y’ para obter a primeira derivada:
4y^3y' = -2x
y' = -2x4y^3 = -x2y^3

Passo 4

Para achar y’’, diferenciamos y’ = -\tfrac{1}{2} x y^{-3} em relação a x. Usamos produto e regra da cadeia:
y'' = -tfrac12l(1cdot y^-3 + xcdot(-3)y^-4y'r)

Passo 5

Substituímos y’ = -\tfrac{x}{2y^{3}} na expressão acima:
y'' = -tfrac12y^-3 + tfrac3x2y^-4cdotl(-tfracx2y^3r)
Simplificando cada termo:
y'' = -12y^3 - 3x^24y^7
Colocando sobre um denominador comum 4y^{7}:
y'' = -2y^4+3x^24y^7

Resposta

y'' = -2y^4+3x^24y^7

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