A área do piso de uma loja retangular é 315 m^2. De suas quatro paredes de mesma altura, as três laterais devem ser de tijolos e a da frente de vidro. O metro quadrado da parede de vidro custa o dobro do preço do metro quadrado da parede de tijolos. Quais as dimensões da loja que minimizarão o custo total do material usado nessas quatro paredes?

Passo 1

O problema pede para achar as dimensões de uma loja retangular de área fixa (315 m²), cujas paredes laterais têm alturas iguais h (constante) e onde três paredes custam R$ c por metro quadrado (tijolo) e a parede da frente custa R$ 2c por metro quadrado (vidro). Vamos usar a área fixa e otimização por cálculo de derivada para minimizar o custo total.

Passo 2

Denotemos por L a largura (frente e fundos) e por W a profundidade (laterais). Como a área do piso é 315 m², temos o vínculo:
L,W = 315
A altura h e o custo c são constantes, então podemos trabalhar com a expressão do custo total C proporcional a:
C propto c,hl(área tijolo + 2timesárea vidror) áá
As áreas envolvidas são:
– Laterais de tijolo: duas paredes de área W·h cada, total 2W·h.
– Fundo de tijolo: área L·h.
– Frente de vidro: área L·h, mas com custo 2c, ou seja equivalente a 2L·h em termos de custo c·h.
Somando e fatorando c·h, obtemos
C = c,h,(2W + L + 2L) = c,h,(2W + 3L)

Passo 3

Para eliminar W, usamos o vínculo W = 315/L. Assim, a função custo (dividida por c·h, que não afeta o mínimo) vira
f(L) = 2cdot315L + 3L = 630L + 3L
Esse é um problema padrão de otimização unidimensional.

Passo 4

Calculamos a derivada de f(L) em relação a L e igualamos a zero para encontrar o ponto crítico:
f'(L) = -630L^2 + 3,
logo
-630L^2 + 3 = 0 Longrightarrow 3 = 630L^2 Longrightarrow L^2 = 210
Verificamos que f''(L)=1260L^3>0, confirmando mínimo.

Passo 5

As dimensões que minimizam o custo são:
L = raiz210 m,
W = 315L = 315raiz210 = 32raiz210 m

Passo 6

Portanto, a frente (e o fundo) mede raiz210approx14,49 m e a profundidade tfrac32raiz210approx21,74 m.

Resposta

Largura (frente e fundos): raiz210 m (aprox. 14,49 m); Profundidade (laterais): tfrac32raiz210 m (aprox. 21,74 m).

Exercícios relacionados