A área do piso de uma loja retangular é
. De suas quatro paredes de mesma altura, as três laterais devem ser de tijolos e a da frente de vidro. O metro quadrado da parede de vidro custa o dobro do preço do metro quadrado da parede de tijolos. Quais as dimensões da loja que minimizarão o custo total do material usado nessas quatro paredes?
Passo 1
O problema pede para achar as dimensões de uma loja retangular de área fixa (315 m²), cujas paredes laterais têm alturas iguais h (constante) e onde três paredes custam R$ c por metro quadrado (tijolo) e a parede da frente custa R$ 2c por metro quadrado (vidro). Vamos usar a área fixa e otimização por cálculo de derivada para minimizar o custo total.
Passo 2
Denotemos por L a largura (frente e fundos) e por W a profundidade (laterais). Como a área do piso é 315 m², temos o vínculo:
A altura h e o custo c são constantes, então podemos trabalhar com a expressão do custo total C proporcional a:
As áreas envolvidas são:
– Laterais de tijolo: duas paredes de área W·h cada, total 2W·h.
– Fundo de tijolo: área L·h.
– Frente de vidro: área L·h, mas com custo 2c, ou seja equivalente a 2L·h em termos de custo c·h.
Somando e fatorando c·h, obtemos
– Laterais de tijolo: duas paredes de área W·h cada, total 2W·h.
– Fundo de tijolo: área L·h.
– Frente de vidro: área L·h, mas com custo 2c, ou seja equivalente a 2L·h em termos de custo c·h.
Somando e fatorando c·h, obtemos
Passo 3
Para eliminar W, usamos o vínculo
. Assim, a função custo (dividida por c·h, que não afeta o mínimo) vira
Esse é um problema padrão de otimização unidimensional.
Passo 4
Calculamos a derivada de
em relação a
e igualamos a zero para encontrar o ponto crítico:
logo
Verificamos que
, confirmando mínimo.
Passo 5
As dimensões que minimizam o custo são:
Passo 6
Portanto, a frente (e o fundo) mede
m e a profundidade
m.
Resposta
Largura (frente e fundos):
m (aprox. 14,49 m); Profundidade (laterais):
m (aprox. 21,74 m).