Determine dois pares de coordenadas polares, com r de sinais opostos, para os pontos com as seguintes coordenadas cartesianas:
(a)
$(-2,2);

Passo 1

O enunciado pede para converter o ponto de coordenadas cartesianas (-2,2) em duas representações em coordenadas polares, de modo que o raio r nas duas soluções tenha sinais opostos. Para isso, precisamos usar as fórmulas
r = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \theta = \arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)
ajustando \theta ao quadrante correto e lembrando que mudar o sinal de r corresponde a acrescentar ou subtrair \pi em \theta.

Passo 2

Calculamos o módulo do vetor:
r = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt2.

Passo 3

O ângulo de referência satisfaz
\alpha = \arctan\!\bigl(\tfrac{|2|}{|{-2}|}\bigr) = \arctan(1) = \tfrac{\pi}{4}.
Como (-2,2) está no segundo quadrante, temos
\theta = \pi - \alpha = \pi - \tfrac{\pi}{4} = \tfrac{3\pi}{4}.

Passo 4

A primeira representação polar, com r>0, é
\bigl(r,\theta\bigr) = \bigl(2\sqrt2,\tfrac{3\pi}{4}\bigr).
Para obter r<0, basta somar \pi a \theta (ou subtrair \pi); por exemplo,
\theta' = \tfrac{3\pi}{4} - \pi = -\tfrac{\pi}{4},
o que dá a segunda representação
\bigl(r',\theta'\bigr) = \bigl(-2\sqrt2,-\tfrac{\pi}{4}\bigr).

Resposta

(2\sqrt2,\tfrac{3\pi}{4})
(-2\sqrt2,-\tfrac{\pi}{4})

Exercícios relacionados