Determine dois pares de coordenadas polares, com r de sinais opostos, para os pontos com as seguintes coordenadas cartesianas:
(e)
$(\sqrt{3}, 1);

Passo 1

O enunciado pede duas representações em coordenadas polares para o ponto de coordenadas cartesianas (\sqrt{3},1). Para isso, vamos usar as fórmulas
  • r = \sqrt{x^2 + y^2} para o raio,
  • \theta = \arctan\!\left(\frac{y}{x}\right) para o ângulo,
    ajustando o valor de \theta de acordo com o quadrante.

Passo 2

Calculamos o módulo r e o ângulo \theta:
r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = 2.
Como x>0 e y>0, o ponto está no primeiro quadrante, logo
\theta = \arctan\!\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr) = \tfrac{\pi}{6}.
Isso nos dá a primeira representação polar (2,\tfrac{\pi}{6}).

Passo 3

Para obter uma segunda representação com r de sinal oposto, usamos a identidade
(-r,\;\theta + \pi) representa o mesmo ponto.
Substituindo r=2 e \theta=\tfrac{\pi}{6} vem
(-2,\;\tfrac{\pi}{6}+\pi) = (-2,\;\tfrac{7\pi}{6}).

Resposta

(2,\tfrac{\pi}{6}) e (-2,\tfrac{7\pi}{6})

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