Determine dois pares de coordenadas polares, com r de sinais opostos, para os pontos com as seguintes coordenadas cartesianas:
(f)
$(0,4);

Passo 1

O enunciado pede duas representações em coordenadas polares (r,\theta) para o ponto de coordenadas cartesianas (0,4), de modo que os dois valores de r tenham sinais opostos. Vamos usar a relação
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta
e lembrar que
r = \sqrt{x^2 + y^2}
e que, quando x=0 e y>0, o ângulo é \theta = \tfrac{\pi}{2}.

Passo 2

Para a representação com r>0 calculamos
r = \sqrt{0^2 + 4^2} = 4,
e, como (x,y)=(0,4) está sobre o eixo y positivo, tomamos
\theta = \tfrac{\pi}{2}.
Logo uma solução é
(4,\tfrac{\pi}{2}).

Passo 3

Para obter uma segunda solução com r<0 basta inverter o sinal de r e acrescentar \pi ao ângulo, pois
(-r,\theta+\pi)
aponta para o mesmo ponto. Assim
r' = -4, \qquad \theta' = \tfrac{\pi}{2} + \pi = \tfrac{3\pi}{2},
resultando na solução
(-4,\tfrac{3\pi}{2}).

Resposta

(4,\tfrac{\pi}{2}) e (-4,\tfrac{3\pi}{2})

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