Determine dois pares de coordenadas polares, com r de sinais opostos, para os pontos com as seguintes coordenadas cartesianas:
(-1,0);

Passo 1

Resumo do enunciado: precisamos achar dois pares de coordenadas polares (r,\theta) que representem o ponto cujas coordenadas cartesianas são (-1,0), sendo um par com r>0 e outro com r<0. O conteúdo usado é a relação entre coordenadas cartesianas e polares:
x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta.

Passo 2

Para obter um par com r>0, calculamos
r = \sqrt{(-1)^2 + 0^2} = 1,
e em seguida determinamos \theta a partir de
\cos\theta = \frac{x}{r} = \frac{-1}{1} = -1, \quad \sin\theta = \frac{y}{r} = 0.
Essas igualdades ocorrem quando \theta = \pi (ou \theta = \pi + 2k\pi, mas tomamos a solução principal). Logo, um par é
(1,\pi).

Passo 3

Para obter um par com r<0, escolhemos r = -1. Queremos ainda que
r\cos\theta = -1,\quad r\sin\theta = 0.
Como r = -1, a condição r\cos\theta = -1 vira
\cos\theta = 1, e r\sin\theta=0 implica \sin\theta=0. Portanto, podemos tomar \theta = 0 (ou \theta = 2k\pi). Fica o par
(-1,0).

Resposta

Um par com r>0 e um par com r<0 são, respectivamente:
(1,\pi)
(-1,0)

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