Determine dois pares de coordenadas polares, com r de sinais opostos, para os pontos com as seguintes coordenadas cartesianas:
(1,2).

Passo 1

O enunciado pede para converter o ponto de coordenadas cartesianas (1,2) em duas representações polares com o raio r trocando de sinal. O conteúdo é “conversão entre coordenadas cartesianas e polares”. Para isso vamos usar
r = \sqrt{x^2 + y^2}
e
\theta = \arctan\!\biggl(\frac{y}{x}\biggr)
lembrando de ajustar o ângulo ao quadrante certo.

Passo 2

Calcular o módulo (raio) r:
r = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}.

Passo 3

Determinar o ângulo \theta. Como x=1>0 e y=2>0, o ponto está no primeiro quadrante, logo
\theta = \arctan\!\biggl(\frac{2}{1}\biggr) = \arctan(2).

Passo 4

Escrever a primeira representação polar com r>0:
\bigl(r,\theta\bigr) = \Bigl(\sqrt{5},\,\arctan(2)\Bigr).

Passo 5

Para obter o segundo par com r de sinal oposto, basta usar -r e adicionar \pi a \theta:
\bigl(-r,\theta+\pi\bigr) = \Bigl(-\sqrt{5},\,\arctan(2)+\pi\Bigr).

Resposta

As duas coordenadas polares são
\bigl(\sqrt{5},\,\arctan(2)\bigr) \quad\text{e}\quad \bigl(-\sqrt{5},\,\arctan(2)+\pi\bigr).

Exercícios relacionados