Determine dois pares de coordenadas polares, com r de sinais opostos, para os pontos com as seguintes coordenadas cartesianas:
(1,2).

Passo 1

O enunciado pede para converter o ponto de coordenadas cartesianas (1,2) em pares de coordenadas polares (r,\theta), sabendo que em geral
r = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \theta = \mathrm{atan2}(y,x),
e que (r,\theta) e (-r,\theta+\pi) representam o mesmo ponto no plano.

Passo 2

Calculamos o módulo do vetor:
r = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}.

Passo 3

Como x=1>0 e y=2>0, o ângulo \theta está no primeiro quadrante:
\theta = \arctan\bigl(\tfrac{2}{1}\bigr) = \arctan(2).

Passo 4

Logo, uma escolha com r>0 é
(r,\theta) = \bigl(\sqrt{5},\,\arctan(2)\bigr).

Passo 5

Para obter um par com r<0, tomamos \tilde r = -\sqrt{5} e ajustamos o ângulo somando \pi:
(\tilde r,\tilde\theta) = \bigl(-\sqrt{5},\,\arctan(2) + \pi\bigr).

Resposta

\bigl(\sqrt{5},\,\arctan(2)\bigr) \bigl(-\sqrt{5},\,\arctan(2)+\pi\bigr)

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