Esboce os gráficos, em coordenadas cartesianas, das seguintes equações polares:
r=1-\cos (\theta);

Passo 1

O enunciado pede para esboçar em coordenadas cartesianas a curva dada em coordenadas polares por
r = 1 - \cos(\theta).
Aqui vamos usar o conteúdo de curvas em coordenadas polares, calculando pontos notáveis e explorando simetrias, e em seguida traçar o esboço em (x,y) via
x = r\cos(\theta),\quad y = r\sin(\theta).

Passo 2

Calculemos alguns valores de r e suas correspondentes coordenadas (x,y):
\theta=0:
r = 1 - \cos(0) = 1 - 1 = 0,
(x,y) = (0\cdot\cos0,\;0\cdot\sin0) = (0,0).
\theta=\tfrac{\pi}{2}:
r = 1 - \cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = 1 - 0 = 1,
(x,y) = (1\cdot\cos\tfrac{\pi}{2},\;1\cdot\sin\tfrac{\pi}{2}) = (0,1).
\theta=\pi:
r = 1 - \cos(\pi) = 1 - (-1) = 2,
(x,y) = (2\cdot\cos\pi,\;2\cdot\sin\pi) = (-2,0).
\theta=\tfrac{3\pi}{2}:
r = 1 - \cos\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr) = 1 - 0 = 1,
(x,y) = (1\cdot\cos\tfrac{3\pi}{2},\;1\cdot\sin\tfrac{3\pi}{2}) = (0,-1).

Passo 3

Verifiquemos simetria:
\cos(-\theta)=\cos(\theta) implica
r(-\theta)=1-\cos(-\theta)=1-\cos(\theta)=r(\theta),
ou seja, a curva é simétrica em relação ao eixo x.

Passo 4

Unindo suavemente os pontos (0,0), (0,1), (-2,0), (0,-1) e respeitando a simetria em torno do eixo x, obtemos uma cardioide com cúspide (ponto agudo) no polo (0,0) e maior extensão até (-2,0).

Resposta

O esboço de r = 1 - \cos(\theta) é uma cardioide com cúspide no ponto (0,0), intercepta y nos pontos (0,1) e (0,-1), atinge o ponto mais à esquerda em (-2,0) e é simétrica em relação ao eixo x.

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