Determine dois pares de coordenadas polares, com r de sinais opostos, para os pontos com as seguintes coordenadas cartesianas:
(0,4);

Passo 1

O enunciado pede para converter o ponto (0,4) do sistema cartesiano para coordenadas polares e apresentar dois pares (r,\theta) com r de sinais opostos. Usaremos as relações
x = r\cos(\theta) e y = r\sin(\theta).

Passo 2

Calcular o raio r usando o teorema de Pitágoras:
r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{0^2 + 4^2} = 4.

Passo 3

Determinar o ângulo \theta. Como x=0 e y=4>0, o ponto está sobre o eixo y positivo, portanto
\theta = \frac{\pi}{2}.

Passo 4

O primeiro par de coordenadas polares, com r>0, é
\bigl(r,\theta\bigr) = \bigl(4,\tfrac{\pi}{2}\bigr).

Passo 5

Para obter um segundo par com r de sinal oposto, tomamos -r e somamos \pi ao ângulo:
\bigl(r,\theta\bigr) = \bigl(-4,\tfrac{\pi}{2} + \pi\bigr) = \bigl(-4,\tfrac{3\pi}{2}\bigr).

Resposta

(4,\tfrac{\pi}{2}) e (-4,\tfrac{3\pi}{2})

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