(2,5) Questão 1. Considere o seguinte sistema linear:
\left\{\begin{array}{r} 2 x-3 y+z=1 \\\ x+2 y-z=0 \\\\ -x-9 y+4 z=1 \end{array}\right.
a) Escalone sua matriz ampliada até obter uma matriz escada-reduzida (por linhas).
b) Descreva seu conjunto solução.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de três equações e três incógnitas:
\begin{cases} 2x - 3y + z = 1,\\\ x + 2y - z = 0,\\\\ -\,x - 9y + 4z = 1, \end{cases}
e pede (a) escalonar a matriz ampliada até ficar em forma escada-reduzida por linhas (RREF) e (b) descrever o conjunto solução. O conteúdo é eliminação de Gauss-Jordan.

Passo 2

Montamos a matriz ampliada \bigl[A\mid b\bigr]:
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & -3 & 1 & 1\\\\ 1 & 2 & -1 & 0\\\\ -1 & -9 & 4 & 1 \end{array}\right].

Passo 3

Para ter pivô 1 na primeira linha, trocamos R_1\leftrightarrow R_2:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 0\\\\ 2 & -3 & 1 & 1\\\\ -1 & -9 & 4 & 1 \end{array}\right].

Passo 4

Eliminamos o x em R_2 e R_3:
R_2 \to R_2 - 2R_1,\quad R_3 \to R_3 + R_1,
dando
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 0\\\\ 0 & -7 & 3 & 1\\\\ 0 & -7 & 3 & 1 \end{array}\right].

Passo 5

Subtraímos R_3 - R_2 para zerar a terceira linha:
R_3 \to R_3 - R_2 \quad\Longrightarrow\quad \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 0\\\\ 0 & -7 & 3 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].

Passo 6

Escalonamos R_2 para pivô 1:
R_2 \to -\tfrac{1}{7}R_2 \quad\Longrightarrow\quad \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 0\\\\ 0 & 1 & -\tfrac{3}{7} & -\tfrac{1}{7}\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].

Passo 7

Eliminamos o termo acima do pivô em R_2:
R_1 \to R_1 - 2R_2 \quad\Longrightarrow\quad \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -\tfrac{1}{7} & \tfrac{2}{7}\\\\ 0 & 1 & -\tfrac{3}{7} & -\tfrac{1}{7}\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].

Passo 8

Da forma RREF vemos que z é livre. Chamando z = t, temos:
\begin{cases} x - \tfrac{1}{7}z = \tfrac{2}{7},\\\ y - \tfrac{3}{7}z = -\tfrac{1}{7}, \end{cases}
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x = \tfrac{2}{7} + \tfrac{1}{7}t,\quad y = -\tfrac{1}{7} + \tfrac{3}{7}t,\quad z = t,\quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

(a) A matriz escada-reduzida (RREF) é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -\tfrac{1}{7} & \tfrac{2}{7}\\\\ 0 & 1 & -\tfrac{3}{7} & -\tfrac{1}{7}\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].
(b) O conjunto solução é
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x=\tfrac{2+z}{7},\;y=\tfrac{-1+3z}{7},\;z\in\mathbb{R}\}.

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