(2,0) Questão 3. Considere o paralelogramo A B C D. Seja P o ponto em que as diagonais A C e D B se cruzam e seja G o ponto da diagonal A C tal que \overrightarrow{A G}=4 \overrightarrow{G C}.
Dados A=(1,1,1), B=(3,0,-1) e \overrightarrow{C G}=(-1,1,2), determine as coordenadas dos pontos C, D, P e G.

Passo 1

O enunciado define um paralelogramo ABCD em \mathbb{R}^3 com vértices
A=(1,1,1), B=(3,0,-1). Queremos achar os pontos
  • G sobre a diagonal AC tal que \overrightarrow{AG}=4\,\overrightarrow{GC}, sabendo que \overrightarrow{CG}=(-1,1,2),
  • C a partir de G e de \overrightarrow{GC},
  • D usando a propriedade vetorial do paralelogramo A+C=B+D,
  • P, ponto de interseção das diagonais, que é o ponto médio de A e C.

Passo 2

De \overrightarrow{CG}=(-1,1,2) temos
\overrightarrow{GC}=-\overrightarrow{CG}=(1,-1,-2),
e como \overrightarrow{AG}=4\,\overrightarrow{GC},
\overrightarrow{AG}=4\,(1,-1,-2)=(4,-4,-8).
Logo,
G = A + \overrightarrow{AG} = (1,1,1) + (4,-4,-8) = (5,-3,-7).

Passo 3

Para achar C usamos
C = G + \overrightarrow{GC} = (5,-3,-7) + (1,-1,-2) = (6,-4,-9).

Passo 4

No paralelogramo vale
A + C = B + D \quad\Longrightarrow\quad D = A + C - B.
Substituindo,
D = (1,1,1) + (6,-4,-9) - (3,0,-1) = (4,-3,-7).

Passo 5

O ponto P de interseção das diagonais é o ponto médio de A e C:
P = \frac{A + C}{2} = \frac{(1,1,1) + (6,-4,-9)}{2} = \Bigl(\tfrac{7}{2},-\tfrac{3}{2},-4\Bigr).

Resposta

C = (6,-4,-9)
D = (4,-3,-7)
G = (5,-3,-7)
P = \bigl(\tfrac72,-\tfrac32,-4\bigr)

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