Determine o domínio mais amplo da função real definida por

Passo 1

O enunciado pede o conjunto de todos os xinR tais que a função
f(x)=raizx^2-6x+82x-6
esteja bem definida. Isso requer duas coisas:
1. O denominador não pode ser zero.
2. O radicando (a expressão dentro da raiz) deve ser maior ou igual a zero.

Passo 2

Exigência de denominador não nulo:
2x-6 neq 0
Logo
x neq 3
Exigência de radicando não negativo:
x^2-6x+82x-6 >= 0

Passo 3

Fatoramos numerador e denominador:
x^2-6x+8=(x-2)(x-4), 2x-6=2(x-3)
Como 2>0, o sinal da fração é o mesmo de
(x-2)(x-4)x-3

Passo 4

Pontos críticos para mudança de sinal são x=2, x=3 e x=4. Analisando o sinal de (x-2)(x-4)x-3 em cada intervalo:
  • Para x<2: (x-2)<0, (x-4)<0 to numerador >0; (x-3)<0 to fração <0.
  • Em x=2: numerador =0to fração =0.
  • Para 2<x<3: (x-2)>0, (x-4)<0 to numerador <0; (x-3)<0 to fração >0.
  • Em x=3: proibido (denominador zero).
  • Para 3<x<4: (x-2)>0, (x-4)<0 to numerador <0; (x-3)>0 to fração <0.
  • Em x=4: numerador =0to fração =0.
  • Para x>4: (x-2)>0, (x-4)>0 to numerador >0; (x-3)>0 to fração >0.

Passo 5

Precisamos de (x-2)(x-4)x-3>=0 e xneq3. Dos testes:
  • Zeros permitidos em x=2 e x=4.
  • Fração positiva em 2<x<3 e em x>4.
  • x=3 excluído.
Portanto o domínio é
[2,3),cup,[4,infty)

Resposta

O domínio de f é ,[2,3)cup[4,infty).

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