Seja
uma função contínua (“sem saltos”, o “gráfico pode ser desenhado sem tirar o lápis do papel”) com
e
. O menor número de raízes que
pode ter em todo o seu domínio é:
(A) 0 .
(B) 1 .
(C) 2 .
(D) 4 .
(E) 5 .
(A) 0 .
(B) 1 .
(C) 2 .
(D) 4 .
(E) 5 .
Passo 1
O enunciado dá uma função contínua
com valores
e pergunta qual o menor número de raízes que
pode ter. Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que diz que se
é contínua em
e
e
têm sinais opostos, então existe pelo menos um
tal que
.
Passo 2
Considere o intervalo
. Como
ambos os extremos são positivos, então
pode permanecer sempre acima de zero e não é obrigada a ter raiz nesse trecho. Mínimo de raízes em
: 0.
Passo 3
No intervalo
temos
Os sinais são opostos, então pelo Teorema do Valor Intermediário há pelo menos uma raiz em
. Mínimo de raízes em
: 1.
Passo 4
No intervalo
temos
Novamente sinais opostos, então há pelo menos uma raiz em
. Mínimo de raízes em
: 1.
Passo 5
No intervalo
vale
ambos positivos, então
pode ficar sempre acima de zero e não gerar novas raízes. Mínimo de raízes em
: 0.
Resposta
Somando os mínimos em cada trecho, o menor número de raízes possíveis é
Portanto, a resposta correta é a alternativa (C).