Seja g:[-3,6] R uma função contínua (“sem saltos”, o “gráfico pode ser desenhado sem tirar o lápis do papel”) com g(-3)=2, g(1)=1, g(2)=-3 e g(4)=g(6)>0. O menor número de raízes que g pode ter em todo o seu domínio é:
(A) 0 .
(B) 1 .
(C) 2 .
(D) 4 .
(E) 5 .

Passo 1

O enunciado dá uma função contínua g:[-3,6]toR com valores
g(-3)=2, g(1)=1, g(2)=-3, g(4)>0, g(6)=g(4)>0
e pergunta qual o menor número de raízes que g pode ter. Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que diz que se g é contínua em [a,b] e g(a) e g(b) têm sinais opostos, então existe pelo menos um cin(a,b) tal que g(c)=0.

Passo 2

Considere o intervalo [-3,1]. Como
g(-3)=2>0 e g(1)=1>0,
ambos os extremos são positivos, então g pode permanecer sempre acima de zero e não é obrigada a ter raiz nesse trecho. Mínimo de raízes em [-3,1]: 0.

Passo 3

No intervalo [1,2] temos
g(1)=1>0 e g(2)=-3<0
Os sinais são opostos, então pelo Teorema do Valor Intermediário há pelo menos uma raiz em (1,2). Mínimo de raízes em [1,2]: 1.

Passo 4

No intervalo [2,4] temos
g(2)=-3<0 e g(4)>0
Novamente sinais opostos, então há pelo menos uma raiz em (2,4). Mínimo de raízes em [2,4]: 1.

Passo 5

No intervalo [4,6] vale
g(4)>0 e g(6)>0,
ambos positivos, então g pode ficar sempre acima de zero e não gerar novas raízes. Mínimo de raízes em [4,6]: 0.

Resposta

Somando os mínimos em cada trecho, o menor número de raízes possíveis é
0 + 1 + 1 + 0 = 2
Portanto, a resposta correta é a alternativa (C).

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