Encontre o limite das seguintes funções exponenciais.
lim x infty(1-32 x)^x

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxtoinftyl(1 - 32xr)^x
Esse é um limite exponencial do tipo (1 + a/x)^x, cuja propriedade fundamental é
limxtoinftyl(1 + axr)^x = e^a
Para justificar isso de modo rigoroso, vamos usar a transformação pelo logaritmo.

Passo 2

Defina
L = limxtoinftyl(1 - 32xr)^x
Tomando o logaritmo natural, obtemos
ln L = limxtoinfty x ,ln!l(1 - tfrac32xr)

Passo 3

Para calcular ln L, usamos a expansão em primeira ordem de ln(1+t) quando tto0:
ln(1+t) = t + o(t)
Aqui t = -tfrac32xto0, então
ln!l(1 - tfrac32xr) = -tfrac32x + ol(tfrac1xr)
Multiplicando por x e passando ao limite, vem
ln L = limxtoinfty xl(-tfrac32x + o(tfrac1x)r) = -tfrac32

Passo 4

Como ln L = -tfrac32, temos
L = e^ln L = e^-tfrac32

Resposta

e^-tfrac32

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