Determine o plano tangente à superfície da função f(x, y) dada no ponto P dado.
f(x, y)=x e^y, P=(2,0,2)

Passo 1

O enunciado pede o plano tangente à superfície z=f(x,y)=x e^y no ponto P=(2,0,2). Para isso, vamos usar derivadas parciais e a fórmula do plano tangente a uma superfície dada por z=f(x,y).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x(x,y)=e^y,
partial fpartial y(x,y)=x,e^y

Passo 3

Avaliamo-las no ponto (x0,y0)=(2,0):
partial fpartial x(2,0)=e^0=1,
partial fpartial y(2,0)=2,e^0=2

Passo 4

A fórmula do plano tangente é
z - z0 = fx(x0,y0),(x-x0) + fy(x0,y0),(y-y0)
Substituindo x0=2, y0=0, z0=2, fx(2,0)=1 e fy(2,0)=2, obtemos
z - 2 = 1,(x-2) + 2,(y-0) Longrightarrow z = x + 2y

Resposta

O plano tangente é
z = x + 2y

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