Determine o domínio de analiticidade da função
e aplique o teorema de Cauchy-Goursat para calcular
onde a curva fechada simples
é a circunferência
Passo 1
Resumindo o problema, precisamos calcular a integral
onde a curva
é a circunferência
e a função é
. Vamos usar o teorema de Cauchy–Goursat.
Passo 2
Para determinar onde
é analítica, lembramos que uma razão de polinômios é holomorfa em todos os pontos em que o denominador não zera. Aqui o único zero do denominador é
. Logo, o domínio de analiticidade de
é
Passo 3
Observamos que a curva
e seu interior formam o disco
, que é simplesmente conexo e não contém o ponto
. Assim,
é analítica em toda essa região.
Passo 4
Pelo teorema de Cauchy–Goursat, qualquer integral de contorno de uma função analítica em uma região simplesmente conexa fecha-se em zero. Portanto,
Resposta
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