Determine o domínio de analiticidade da função f e aplique o teorema de Cauchy-Goursat para calcular
integralgamma f(z) d z
onde a curva fechada simples gamma é a circunferência |z|=1 e
f(z)=z^2z-3

Passo 1

Resumindo o problema, precisamos calcular a integral
integralgamma f(z),dz onde a curva gamma é a circunferência |z|=1 e a função é f(z)=z^2z-3. Vamos usar o teorema de Cauchy–Goursat.

Passo 2

Para determinar onde f é analítica, lembramos que uma razão de polinômios é holomorfa em todos os pontos em que o denominador não zera. Aqui o único zero do denominador é z=3. Logo, o domínio de analiticidade de f é
Csetminus3

Passo 3

Observamos que a curva gamma e seu interior formam o disco |z|<=1, que é simplesmente conexo e não contém o ponto z=3. Assim, f é analítica em toda essa região.

Passo 4

Pelo teorema de Cauchy–Goursat, qualquer integral de contorno de uma função analítica em uma região simplesmente conexa fecha-se em zero. Portanto,
integralgamma f(z),dz = 0

Resposta

0

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