Mostre que existe x in(0,1) tal que x^5=1x^4+2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que existe um ponto x em (0,1) que satisfaz a equação x^5 = 1/(x^4+2). O conteúdo principal aqui é o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para funções contínuas.

Passo 2

Definimos a função
f(x) = x^5 - 1x^4 + 2
Essa função é contínua em todo o intervalo [0,1] porque é combinação de polinômio e função racional sem ponto de descontinuidade em [0,1].

Passo 3

Calculamos o valor de f nos extremos do intervalo: f(0) = 0^5 - 1/(0^4+2) = -1/2 < 0 e f(1) = 1^5 - 1/(1^4+2) = 1 - 1/3 = 2/3 > 0.

Passo 4

Como f é contínua em [0,1] e f(0)<0 enquanto f(1)>0, pelo Teorema do Valor Intermediário existe c em (0,1) tal que f©=0, ou seja, c^5 = 1/(c^4+2).

Resposta

Existe x em (0,1) satisfazendo x^5 = 1/(x^4+2) por aplicação direta do Teorema do Valor Intermediário.

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