Use o Teste da Comparação para verificar se as séries abaixo convergem ou não. Justifique.
sumn=1^+infty 4raizn-1

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série sumn=1^infty4raizn-1 converge ou diverge usando o Teste da Comparação. Vamos comparar com uma p-série, lembrando que p-série é sum n^-p e converge só se p>1.

Passo 2

Para todo n>=1 vale raizn-1<=raizn. Assim, como a função xmapsto1/x é decrescente em x>0, temos
1raizn-1>=1raizn
Multiplicando por 4,
4raizn-1>=4raizn

Passo 3

A série comparada é sumn=1^infty4raizn=4sumn=1^inftyn^-1/2 Aqui p=1/2<=1, de modo que a p-série diverge (já que p-série converge ↔ p>1).

Passo 4

Pelo Teste da Comparação, como 0<=4raizn-1 e 4raizn-1>=4raizn e sum4/raizn diverge, concluímos que
sumn=1^infty4raizn-1 também diverge.

Resposta

A série diverge.

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