Nos items a seguir, esboce o sólido no primeiro octante limitado pelos gráficos das funções dadas e encontre seu volume.
x^2+z^2=9, y=2 x, y=0, z=0

Passo 1

Vamos desenhar o sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro x^2+z^2=9, pelo plano y=2x, pelo plano y=0 e pelo plano z=0. O conteúdo aqui é volume de sólido via integral tripla e vamos precisar entender os limites dessas variáveis.

Passo 2

O cilindro x^2+z^2=9 gera, no plano x!z, um semicírculo de raio 3 em z>=0 e x>=0. O plano y=2x traz a altura do sólido em cada x. No primeiro octante temos também y>=0 e z>=0.

Passo 3

Para montar a integral tripla em coordenadas cartesianas escolhemos: x varia de 0 a 3, z varia de 0 a raiz9 - x^2 e y varia de 0 a 2x. Assim
block_integral1
onde o elemento de volume é dV = dy,dz,dx.

Passo 4

Integramos primeiro em y:
block_integral2
Isso reduz a integral para
block_integral3

Passo 5

Agora integramos em z:
block_integral4
E sobra uma integral em x:
block_integral5

Passo 6

Fazemos a substituição u = 9 - x^2, du = -2x,dx e obtemos
block_integral6
Portanto, o volume do sólido é
block_integral7

Resposta

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