Nos items a seguir, esboce o sólido no primeiro octante limitado pelos gráficos das funções dadas e encontre seu volume.
Passo 1
Vamos desenhar o sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro
, pelo plano
, pelo plano
e pelo plano
. O conteúdo aqui é volume de sólido via integral tripla e vamos precisar entender os limites dessas variáveis.
Passo 2
O cilindro
gera, no plano
, um semicírculo de raio 3 em
e
. O plano
traz a altura do sólido em cada
. No primeiro octante temos também
e
.
Passo 3
Para montar a integral tripla em coordenadas cartesianas escolhemos:
varia de 0 a 3,
varia de 0 a
e
varia de 0 a
. Assim
block_integral1
onde o elemento de volume é .
block_integral1
onde o elemento de volume é
Passo 4
Integramos primeiro em
:
block_integral2
Isso reduz a integral para
block_integral3
block_integral2
Isso reduz a integral para
block_integral3
Passo 5
Agora integramos em
:
block_integral4
E sobra uma integral em :
block_integral5
block_integral4
E sobra uma integral em
block_integral5
Passo 6
Fazemos a substituição
,
e obtemos
block_integral6
Portanto, o volume do sólido é
block_integral7
block_integral6
Portanto, o volume do sólido é
block_integral7
Resposta
18